Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8898 / 9515
↖ ↑ ↗
← S 27.897349°
E 15.512695°		 ← 2 159.28 m → S 27.897349°
E 15.534668°		 →
↑
2 159.07 m
↓
↑
2 159.07 m
↓
S 27.916766°
E 15.512695°		 ← 2 158.89 m →
4 661 619 m²		 S 27.916766°
E 15.534668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543121337890625 y=0.580780029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543121337890625 × 214)
    floor (0.543121337890625 × 16384)
    floor (8898.5)     		tx = 8898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580780029296875 × 214)
    floor (0.580780029296875 × 16384)
    floor (9515.5)     		ty = 9515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8898 / 9515 ti = "14/8898/9515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8898/9515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8898 ÷ 214
    8898 ÷ 16384     		x = 0.5430908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9515 ÷ 214
    9515 ÷ 16384     		y = 0.58074951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5430908203125 × 2 - 1) × π
    0.086181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27074761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58074951171875 × 2 - 1) × π
    -0.1614990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.507364145578674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27074761} λ = 0.27074761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.507364145578674))-π/2
    2×atan(0.602080485612839)-π/2
    2×0.541947865085509-π/2
    1.08389573017102-1.57079632675     		φ = -0.48690060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27074761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.512695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48690060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.897349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8898 KachelY 9515 0.27074761 -0.48690060 15.512695 -27.897349
    Oben rechts KachelX + 1 8899 KachelY 9515 0.27113110 -0.48690060 15.534668 -27.897349
    Unten links KachelX 8898 KachelY + 1 9516 0.27074761 -0.48723949 15.512695 -27.916766
    Unten rechts KachelX + 1 8899 KachelY + 1 9516 0.27113110 -0.48723949 15.534668 -27.916766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48690060--0.48723949) × R
    0.000338889999999981 × 6371000     		dl = 2159.06818999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48690060--0.48723949) × R
    0.000338889999999981 × 6371000     		dr = 2159.06818999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27074761-0.27113110) × cos(-0.48690060) × R
    0.000383489999999986 × 0.883787276187528 × 6371000     		do = 2159.28214439511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27074761-0.27113110) × cos(-0.48723949) × R
    0.000383489999999986 × 0.883628662561301 × 6371000     		du = 2158.89461723761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48690060)-sin(-0.48723949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883787276187528-0.883628662561301)×R²
    abs(0.27113110-0.27074761)×0.000158613626226822×R²
    0.000383489999999986×0.000158613626226822×6371000²
    0.000383489999999986×0.000158613626226822×40589641000000     		ar = 4661619.08703279m²