Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8898 / 26050
↖ ↑ ↗
← S 72.188526°
W 82.243652°		 ← 373.68 m → S 72.188526°
W 82.232666°		 →
↑
373.66 m
↓
↑
373.66 m
↓
S 72.191886°
W 82.243652°		 ← 373.61 m →
139 617 m²		 S 72.191886°
W 82.232666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271560668945312 y=0.794998168945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271560668945312 × 215)
    floor (0.271560668945312 × 32768)
    floor (8898.5)     		tx = 8898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.794998168945312 × 215)
    floor (0.794998168945312 × 32768)
    floor (26050.5)     		ty = 26050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8898 / 26050 ti = "15/8898/26050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8898/26050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8898 ÷ 215
    8898 ÷ 32768     		x = 0.27154541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26050 ÷ 215
    26050 ÷ 32768     		y = 0.79498291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27154541015625 × 2 - 1) × π
    -0.4569091796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.43542252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79498291015625 × 2 - 1) × π
    -0.5899658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.85343228690985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43542252} λ = -1.43542252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85343228690985))-π/2
    2×atan(0.156698408360789)-π/2
    2×0.155434433754044-π/2
    0.310868867508088-1.57079632675     		φ = -1.25992746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43542252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.243652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25992746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.188526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8898 KachelY 26050 -1.43542252 -1.25992746 -82.243652 -72.188526
    Oben rechts KachelX + 1 8899 KachelY 26050 -1.43523077 -1.25992746 -82.232666 -72.188526
    Unten links KachelX 8898 KachelY + 1 26051 -1.43542252 -1.25998611 -82.243652 -72.191886
    Unten rechts KachelX + 1 8899 KachelY + 1 26051 -1.43523077 -1.25998611 -82.232666 -72.191886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25992746--1.25998611) × R
    5.86499999999379e-05 × 6371000     		dl = 373.659149999604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25992746--1.25998611) × R
    5.86499999999379e-05 × 6371000     		dr = 373.659149999604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43542252--1.43523077) × cos(-1.25992746) × R
    0.000191749999999935 × 0.305885972206995 × 6371000     		do = 373.682309672348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43542252--1.43523077) × cos(-1.25998611) × R
    0.000191749999999935 × 0.305830132883633 × 6371000     		du = 373.614094163235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25992746)-sin(-1.25998611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305885972206995-0.305830132883633)×R²
    abs(-1.43523077--1.43542252)×5.58393233628385e-05×R²
    0.000191749999999935×5.58393233628385e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.58393233628385e-05×40589641000000     		ar = 139617.069567734m²