Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 8896 / 26048
↖ ↑ ↗
← S 72.181803°
W 82.265625°		 ← 373.82 m → S 72.181803°
W 82.254639°		 →
↑
373.79 m
↓
↑
373.79 m
↓
S 72.185165°
W 82.265625°		 ← 373.75 m →
139 716 m²		 S 72.185165°
W 82.254639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271499633789062 y=0.794937133789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271499633789062 × 215)
    floor (0.271499633789062 × 32768)
    floor (8896.5)     		tx = 8896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.794937133789062 × 215)
    floor (0.794937133789062 × 32768)
    floor (26048.5)     		ty = 26048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8896 / 26048 ti = "15/8896/26048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8896/26048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8896 ÷ 215
    8896 ÷ 32768     		x = 0.271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26048 ÷ 215
    26048 ÷ 32768     		y = 0.794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271484375 × 2 - 1) × π
    -0.45703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.43580602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.794921875 × 2 - 1) × π
    -0.58984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.85304879171289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43580602} λ = -1.43580602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85304879171289))-π/2
    2×atan(0.156758512971945)-π/2
    2×0.155493097363407-π/2
    0.310986194726815-1.57079632675     		φ = -1.25981013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43580602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.265625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25981013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.181803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8896 KachelY 26048 -1.43580602 -1.25981013 -82.265625 -72.181803
    Oben rechts KachelX + 1 8897 KachelY 26048 -1.43561427 -1.25981013 -82.254639 -72.181803
    Unten links KachelX 8896 KachelY + 1 26049 -1.43580602 -1.25986880 -82.265625 -72.185165
    Unten rechts KachelX + 1 8897 KachelY + 1 26049 -1.43561427 -1.25986880 -82.254639 -72.185165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25981013--1.25986880) × R
    5.86700000000384e-05 × 6371000     		dl = 373.786570000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25981013--1.25986880) × R
    5.86700000000384e-05 × 6371000     		dr = 373.786570000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43580602--1.43561427) × cos(-1.25981013) × R
    0.000191749999999935 × 0.305997676257917 × 6371000     		do = 373.818771725338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43580602--1.43561427) × cos(-1.25986880) × R
    0.000191749999999935 × 0.305941819998667 × 6371000     		du = 373.75053552668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25981013)-sin(-1.25986880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305997676257917-0.305941819998667)×R²
    abs(-1.43561427--1.43580602)×5.58562592497536e-05×R²
    0.000191749999999935×5.58562592497536e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.58562592497536e-05×40589641000000     		ar = 139715.683638343m²