Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8895 / 26047
↖ ↑ ↗
← S 72.178441°
W 82.276612°		 ← 373.89 m → S 72.178441°
W 82.265625°		 →
↑
373.85 m
↓
↑
373.85 m
↓
S 72.181803°
W 82.276612°		 ← 373.82 m →
139 765 m²		 S 72.181803°
W 82.265625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271469116210938 y=0.794906616210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271469116210938 × 215)
    floor (0.271469116210938 × 32768)
    floor (8895.5)     		tx = 8895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.794906616210938 × 215)
    floor (0.794906616210938 × 32768)
    floor (26047.5)     		ty = 26047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8895 / 26047 ti = "15/8895/26047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8895/26047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8895 ÷ 215
    8895 ÷ 32768     		x = 0.271453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26047 ÷ 215
    26047 ÷ 32768     		y = 0.794891357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.45709228515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.43599777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.794891357421875 × 2 - 1) × π
    -0.58978271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.85285704411441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43599777} λ = -1.43599777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85285704411441))-π/2
    2×atan(0.156788573922314)-π/2
    2×0.155522437200894-π/2
    0.311044874401788-1.57079632675     		φ = -1.25975145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43599777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.276612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25975145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.178441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8895 KachelY 26047 -1.43599777 -1.25975145 -82.276612 -72.178441
    Oben rechts KachelX + 1 8896 KachelY 26047 -1.43580602 -1.25975145 -82.265625 -72.178441
    Unten links KachelX 8895 KachelY + 1 26048 -1.43599777 -1.25981013 -82.276612 -72.181803
    Unten rechts KachelX + 1 8896 KachelY + 1 26048 -1.43580602 -1.25981013 -82.265625 -72.181803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25975145--1.25981013) × R
    5.86799999999776e-05 × 6371000     		dl = 373.850279999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25975145--1.25981013) × R
    5.86799999999776e-05 × 6371000     		dr = 373.850279999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43599777--1.43580602) × cos(-1.25975145) × R
    0.000191749999999935 × 0.306053540984014 × 6371000     		do = 373.887018267428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43599777--1.43580602) × cos(-1.25981013) × R
    0.000191749999999935 × 0.305997676257917 × 6371000     		du = 373.818771725338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25975145)-sin(-1.25981013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306053540984014-0.305997676257917)×R²
    abs(-1.43580602--1.43599777)×5.58647260970324e-05×R²
    0.000191749999999935×5.58647260970324e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.58647260970324e-05×40589641000000     		ar = 139765.009512616m²