Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8892 / 7841
↖ ↑ ↗
← N  7.689217°
E 15.380859°		 ← 2 421.25 m → N  7.689217°
E 15.402832°		 →
↑
2 421.36 m
↓
↑
2 421.36 m
↓
N  7.667442°
E 15.380859°		 ← 2 421.37 m →
5 862 865 m²		 N  7.667442°
E 15.402832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542755126953125 y=0.478607177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542755126953125 × 214)
    floor (0.542755126953125 × 16384)
    floor (8892.5)     		tx = 8892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478607177734375 × 214)
    floor (0.478607177734375 × 16384)
    floor (7841.5)     		ty = 7841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8892 / 7841 ti = "14/8892/7841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8892/7841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8892 ÷ 214
    8892 ÷ 16384     		x = 0.542724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7841 ÷ 214
    7841 ÷ 16384     		y = 0.47857666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542724609375 × 2 - 1) × π
    0.08544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26844664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47857666015625 × 2 - 1) × π
    0.0428466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.134606814133118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26844664} λ = 0.26844664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.134606814133118))-π/2
    2×atan(1.14408685712189)-π/2
    2×0.852499241285411-π/2
    1.70499848257082-1.57079632675     		φ = 0.13420216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26844664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.380859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13420216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.689217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8892 KachelY 7841 0.26844664 0.13420216 15.380859 7.689217
    Oben rechts KachelX + 1 8893 KachelY 7841 0.26883013 0.13420216 15.402832 7.689217
    Unten links KachelX 8892 KachelY + 1 7842 0.26844664 0.13382210 15.380859 7.667442
    Unten rechts KachelX + 1 8893 KachelY + 1 7842 0.26883013 0.13382210 15.402832 7.667442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13420216-0.13382210) × R
    0.000380059999999988 × 6371000     		dl = 2421.36225999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13420216-0.13382210) × R
    0.000380059999999988 × 6371000     		dr = 2421.36225999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26844664-0.26883013) × cos(0.13420216) × R
    0.000383489999999986 × 0.991008397348446 × 6371000     		do = 2421.24637341584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26844664-0.26883013) × cos(0.13382210) × R
    0.000383489999999986 × 0.991059177683065 × 6371000     		du = 2421.37044068042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13420216)-sin(0.13382210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991008397348446-0.991059177683065)×R²
    abs(0.26883013-0.26844664)×5.07803346186941e-05×R²
    0.000383489999999986×5.07803346186941e-05×6371000²
    0.000383489999999986×5.07803346186941e-05×40589641000000     		ar = 5862864.867219m²