Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8891 / 7842
↖ ↑ ↗
← N  7.667442°
E 15.358887°		 ← 2 421.43 m → N  7.667442°
E 15.380859°		 →
↑
2 421.49 m
↓
↑
2 421.49 m
↓
N  7.645665°
E 15.358887°		 ← 2 421.56 m →
5 863 626 m²		 N  7.645665°
E 15.380859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542694091796875 y=0.478668212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542694091796875 × 214)
    floor (0.542694091796875 × 16384)
    floor (8891.5)     		tx = 8891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478668212890625 × 214)
    floor (0.478668212890625 × 16384)
    floor (7842.5)     		ty = 7842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8891 / 7842 ti = "14/8891/7842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8891/7842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8891 ÷ 214
    8891 ÷ 16384     		x = 0.54266357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7842 ÷ 214
    7842 ÷ 16384     		y = 0.4786376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54266357421875 × 2 - 1) × π
    0.0853271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26806314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4786376953125 × 2 - 1) × π
    0.042724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.134223318936157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26806314} λ = 0.26806314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.134223318936157))-π/2
    2×atan(1.14364818942613)-π/2
    2×0.85230921293433-π/2
    1.70461842586866-1.57079632675     		φ = 0.13382210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26806314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.358887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13382210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.667442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8891 KachelY 7842 0.26806314 0.13382210 15.358887 7.667442
    Oben rechts KachelX + 1 8892 KachelY 7842 0.26844664 0.13382210 15.380859 7.667442
    Unten links KachelX 8891 KachelY + 1 7843 0.26806314 0.13344202 15.358887 7.645665
    Unten rechts KachelX + 1 8892 KachelY + 1 7843 0.26844664 0.13344202 15.380859 7.645665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13382210-0.13344202) × R
    0.000380080000000005 × 6371000     		dl = 2421.48968000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13382210-0.13344202) × R
    0.000380080000000005 × 6371000     		dr = 2421.48968000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26806314-0.26844664) × cos(0.13382210) × R
    0.000383500000000037 × 0.991059177683065 × 6371000     		do = 2421.43358106094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26806314-0.26844664) × cos(0.13344202) × R
    0.000383500000000037 × 0.991109817524472 × 6371000     		du = 2421.5573082967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13382210)-sin(0.13344202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991059177683065-0.991109817524472)×R²
    abs(0.26844664-0.26806314)×5.0639841406408e-05×R²
    0.000383500000000037×5.0639841406408e-05×6371000²
    0.000383500000000037×5.0639841406408e-05×40589641000000     		ar = 5863626.30004524m²