Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8890 / 7840
↖ ↑ ↗
← N  7.710991°
E 15.336914°		 ← 2 421.12 m → N  7.710991°
E 15.358887°		 →
↑
2 421.17 m
↓
↑
2 421.17 m
↓
N  7.689217°
E 15.336914°		 ← 2 421.25 m →
5 862 101 m²		 N  7.689217°
E 15.358887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542633056640625 y=0.478546142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542633056640625 × 214)
    floor (0.542633056640625 × 16384)
    floor (8890.5)     		tx = 8890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478546142578125 × 214)
    floor (0.478546142578125 × 16384)
    floor (7840.5)     		ty = 7840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8890 / 7840 ti = "14/8890/7840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8890/7840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8890 ÷ 214
    8890 ÷ 16384     		x = 0.5426025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7840 ÷ 214
    7840 ÷ 16384     		y = 0.478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5426025390625 × 2 - 1) × π
    0.085205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.26767965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478515625 × 2 - 1) × π
    0.04296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.134990309330078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26767965} λ = 0.26767965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.134990309330078))-π/2
    2×atan(1.14452569307687)-π/2
    2×0.852689259886096-π/2
    1.70537851977219-1.57079632675     		φ = 0.13458219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26767965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.336914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13458219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.710991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8890 KachelY 7840 0.26767965 0.13458219 15.336914 7.710991
    Oben rechts KachelX + 1 8891 KachelY 7840 0.26806314 0.13458219 15.358887 7.710991
    Unten links KachelX 8890 KachelY + 1 7841 0.26767965 0.13420216 15.336914 7.689217
    Unten rechts KachelX + 1 8891 KachelY + 1 7841 0.26806314 0.13420216 15.358887 7.689217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13458219-0.13420216) × R
    0.000380030000000003 × 6371000     		dl = 2421.17113000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13458219-0.13420216) × R
    0.000380030000000003 × 6371000     		dr = 2421.17113000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26767965-0.26806314) × cos(0.13458219) × R
    0.000383489999999986 × 0.990957477892313 × 6371000     		do = 2421.12196624751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26767965-0.26806314) × cos(0.13420216) × R
    0.000383489999999986 × 0.991008397348446 × 6371000     		du = 2421.24637341584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13458219)-sin(0.13420216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990957477892313-0.991008397348446)×R²
    abs(0.26806314-0.26767965)×5.0919456133891e-05×R²
    0.000383489999999986×5.0919456133891e-05×6371000²
    0.000383489999999986×5.0919456133891e-05×40589641000000     		ar = 5862101.28296124m²