Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8889 / 7272
↖ ↑ ↗
← N 80.080785°
W131.171265°		 ← 105.21 m → N 80.080785°
W131.165772°		 →
↑
105.19 m
↓
↑
105.19 m
↓
N 80.079839°
W131.171265°		 ← 105.22 m →
11 067 m²		 N 80.079839°
W131.165772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135643005371094 y=0.110969543457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135643005371094 × 216)
    floor (0.135643005371094 × 65536)
    floor (8889.5)     		tx = 8889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110969543457031 × 216)
    floor (0.110969543457031 × 65536)
    floor (7272.5)     		ty = 7272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8889 / 7272 ti = "16/8889/7272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8889/7272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8889 ÷ 216
    8889 ÷ 65536     		x = 0.135635375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7272 ÷ 216
    7272 ÷ 65536     		y = 0.1109619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.135635375976562 × 2 - 1) × π
    -0.728729248046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.28937045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1109619140625 × 2 - 1) × π
    0.778076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4443983854259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28937045} λ = -2.28937045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4443983854259))-π/2
    2×atan(11.5236147384186)-π/2
    2×1.48423484896815-π/2
    2.96846969793631-1.57079632675     		φ = 1.39767337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28937045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.171265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39767337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.080785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8889 KachelY 7272 -2.28937045 1.39767337 -131.171265 80.080785
    Oben rechts KachelX + 1 8890 KachelY 7272 -2.28927458 1.39767337 -131.165772 80.080785
    Unten links KachelX 8889 KachelY + 1 7273 -2.28937045 1.39765686 -131.171265 80.079839
    Unten rechts KachelX + 1 8890 KachelY + 1 7273 -2.28927458 1.39765686 -131.165772 80.079839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39767337-1.39765686) × R
    1.65100000000251e-05 × 6371000     		dl = 105.18521000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39767337-1.39765686) × R
    1.65100000000251e-05 × 6371000     		dr = 105.18521000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28937045--2.28927458) × cos(1.39767337) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172259457703509 × 6371000     		do = 105.213970032133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28937045--2.28927458) × cos(1.39765686) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172275720882153 × 6371000     		du = 105.22390338275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39767337)-sin(1.39765686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172259457703509-0.172275720882153)×R²
    abs(-2.28927458--2.28937045)×1.62631786439493e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.62631786439493e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.62631786439493e-05×40589641000000     		ar = 11067.4759538614m²