Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8886 / 7833
↖ ↑ ↗
← N  7.863382°
E 15.249024°		 ← 2 420.24 m → N  7.863382°
E 15.270996°		 →
↑
2 420.34 m
↓
↑
2 420.34 m
↓
N  7.841615°
E 15.249024°		 ← 2 420.37 m →
5 857 968 m²		 N  7.841615°
E 15.270996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542388916015625 y=0.478118896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542388916015625 × 214)
    floor (0.542388916015625 × 16384)
    floor (8886.5)     		tx = 8886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478118896484375 × 214)
    floor (0.478118896484375 × 16384)
    floor (7833.5)     		ty = 7833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8886 / 7833 ti = "14/8886/7833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8886/7833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8886 ÷ 214
    8886 ÷ 16384     		x = 0.5423583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7833 ÷ 214
    7833 ÷ 16384     		y = 0.47808837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5423583984375 × 2 - 1) × π
    0.084716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26614567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47808837890625 × 2 - 1) × π
    0.0438232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.137674775708801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26614567} λ = 0.26614567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.137674775708801))-π/2
    2×atan(1.14760226144412)-π/2
    2×0.85401911481753-π/2
    1.70803822963506-1.57079632675     		φ = 0.13724190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26614567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.249024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13724190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.863382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8886 KachelY 7833 0.26614567 0.13724190 15.249024 7.863382
    Oben rechts KachelX + 1 8887 KachelY 7833 0.26652916 0.13724190 15.270996 7.863382
    Unten links KachelX 8886 KachelY + 1 7834 0.26614567 0.13686200 15.249024 7.841615
    Unten rechts KachelX + 1 8887 KachelY + 1 7834 0.26652916 0.13686200 15.270996 7.841615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13724190-0.13686200) × R
    0.000379899999999989 × 6371000     		dl = 2420.34289999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13724190-0.13686200) × R
    0.000379899999999989 × 6371000     		dr = 2420.34289999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26614567-0.26652916) × cos(0.13724190) × R
    0.000383489999999986 × 0.990597103247781 × 6371000     		do = 2420.24149358605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26614567-0.26652916) × cos(0.13686200) × R
    0.000383489999999986 × 0.990649006441502 × 6371000     		du = 2420.3683042366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13724190)-sin(0.13686200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990597103247781-0.990649006441502)×R²
    abs(0.26652916-0.26614567)×5.1903193721281e-05×R²
    0.000383489999999986×5.1903193721281e-05×6371000²
    0.000383489999999986×5.1903193721281e-05×40589641000000     		ar = 5857967.84836864m²