Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8886 / 7225
↖ ↑ ↗
← N 80.125160°
W131.187744°		 ← 104.75 m → N 80.125160°
W131.182251°		 →
↑
104.74 m
↓
↑
104.74 m
↓
N 80.124218°
W131.187744°		 ← 104.76 m →
10 972 m²		 N 80.124218°
W131.182251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135597229003906 y=0.110252380371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135597229003906 × 216)
    floor (0.135597229003906 × 65536)
    floor (8886.5)     		tx = 8886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110252380371094 × 216)
    floor (0.110252380371094 × 65536)
    floor (7225.5)     		ty = 7225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8886 / 7225 ti = "16/8886/7225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8886/7225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8886 ÷ 216
    8886 ÷ 65536     		x = 0.135589599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7225 ÷ 216
    7225 ÷ 65536     		y = 0.110244750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.135589599609375 × 2 - 1) × π
    -0.72882080078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.28965807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110244750976562 × 2 - 1) × π
    0.779510498046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44890445399019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28965807} λ = -2.28965807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44890445399019))-π/2
    2×atan(11.5756581039648)-π/2
    2×1.48462209531746-π/2
    2.96924419063493-1.57079632675     		φ = 1.39844786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28965807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.187744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39844786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.125160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8886 KachelY 7225 -2.28965807 1.39844786 -131.187744 80.125160
    Oben rechts KachelX + 1 8887 KachelY 7225 -2.28956220 1.39844786 -131.182251 80.125160
    Unten links KachelX 8886 KachelY + 1 7226 -2.28965807 1.39843142 -131.187744 80.124218
    Unten rechts KachelX + 1 8887 KachelY + 1 7226 -2.28956220 1.39843142 -131.182251 80.124218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39844786-1.39843142) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dl = 104.739240000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39844786-1.39843142) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dr = 104.739240000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28965807--2.28956220) × cos(1.39844786) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.171496493492834 × 6371000     		do = 104.747960823305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28965807--2.28956220) × cos(1.39843142) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.171512689906623 × 6371000     		du = 104.757853394765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39844786)-sin(1.39843142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171496493492834-0.171512689906623)×R²
    abs(-2.28956220--2.28965807)×1.61964137891102e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.61964137891102e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.61964137891102e-05×40589641000000     		ar = 10971.739878772m²