Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8886 / 12054
↖ ↑ ↗
← S 64.377941°
E 15.249024°		 ← 1 056.53 m → S 64.377941°
E 15.270996°		 →
↑
1 056.31 m
↓
↑
1 056.31 m
↓
S 64.387441°
E 15.249024°		 ← 1 056.16 m →
1 115 829 m²		 S 64.387441°
E 15.270996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542388916015625 y=0.735748291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542388916015625 × 214)
    floor (0.542388916015625 × 16384)
    floor (8886.5)     		tx = 8886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735748291015625 × 214)
    floor (0.735748291015625 × 16384)
    floor (12054.5)     		ty = 12054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8886 / 12054 ti = "14/8886/12054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8886/12054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8886 ÷ 214
    8886 ÷ 16384     		x = 0.5423583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12054 ÷ 214
    12054 ÷ 16384     		y = 0.7357177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5423583984375 × 2 - 1) × π
    0.084716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26614567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7357177734375 × 2 - 1) × π
    -0.471435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48105845066125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26614567} λ = 0.26614567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48105845066125))-π/2
    2×atan(0.227396872590317)-π/2
    2×0.223594645779962-π/2
    0.447189291559924-1.57079632675     		φ = -1.12360704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26614567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.249024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12360704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.377941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8886 KachelY 12054 0.26614567 -1.12360704 15.249024 -64.377941
    Oben rechts KachelX + 1 8887 KachelY 12054 0.26652916 -1.12360704 15.270996 -64.377941
    Unten links KachelX 8886 KachelY + 1 12055 0.26614567 -1.12377284 15.249024 -64.387441
    Unten rechts KachelX + 1 8887 KachelY + 1 12055 0.26652916 -1.12377284 15.270996 -64.387441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12360704--1.12377284) × R
    0.000165799999999994 × 6371000     		dl = 1056.31179999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12360704--1.12377284) × R
    0.000165799999999994 × 6371000     		dr = 1056.31179999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26614567-0.26652916) × cos(-1.12360704) × R
    0.000383489999999986 × 0.432432920746171 × 6371000     		do = 1056.52650764991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26614567-0.26652916) × cos(-1.12377284) × R
    0.000383489999999986 × 0.432283418562553 × 6371000     		du = 1056.16124170375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12360704)-sin(-1.12377284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432432920746171-0.432283418562553)×R²
    abs(0.26652916-0.26614567)×0.000149502183618144×R²
    0.000383489999999986×0.000149502183618144×6371000²
    0.000383489999999986×0.000149502183618144×40589641000000     		ar = 1115828.50223484m²