Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8883 / 9493
↖ ↑ ↗
← S 27.469287°
E 15.183105°		 ← 2 167.82 m → S 27.469287°
E 15.205078°		 →
↑
2 167.61 m
↓
↑
2 167.61 m
↓
S 27.488781°
E 15.183105°		 ← 2 167.44 m →
4 698 560 m²		 S 27.488781°
E 15.205078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542205810546875 y=0.579437255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542205810546875 × 214)
    floor (0.542205810546875 × 16384)
    floor (8883.5)     		tx = 8883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579437255859375 × 214)
    floor (0.579437255859375 × 16384)
    floor (9493.5)     		ty = 9493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8883 / 9493 ti = "14/8883/9493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8883/9493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8883 ÷ 214
    8883 ÷ 16384     		x = 0.54217529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9493 ÷ 214
    9493 ÷ 16384     		y = 0.57940673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54217529296875 × 2 - 1) × π
    0.0843505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26499518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57940673828125 × 2 - 1) × π
    -0.1588134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.498927251245544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26499518} λ = 0.26499518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.498927251245544))-π/2
    2×atan(0.607181663841883)-π/2
    2×0.545683408607394-π/2
    1.09136681721479-1.57079632675     		φ = -0.47942951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26499518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.183105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47942951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.469287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8883 KachelY 9493 0.26499518 -0.47942951 15.183105 -27.469287
    Oben rechts KachelX + 1 8884 KachelY 9493 0.26537868 -0.47942951 15.205078 -27.469287
    Unten links KachelX 8883 KachelY + 1 9494 0.26499518 -0.47976974 15.183105 -27.488781
    Unten rechts KachelX + 1 8884 KachelY + 1 9494 0.26537868 -0.47976974 15.205078 -27.488781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47942951--0.47976974) × R
    0.000340229999999997 × 6371000     		dl = 2167.60532999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47942951--0.47976974) × R
    0.000340229999999997 × 6371000     		dr = 2167.60532999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26499518-0.26537868) × cos(-0.47942951) × R
    0.000383499999999981 × 0.887258218826684 × 6371000     		do = 2167.81893000742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26499518-0.26537868) × cos(-0.47976974) × R
    0.000383499999999981 × 0.887101228537217 × 6371000     		du = 2167.43535900846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47942951)-sin(-0.47976974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887258218826684-0.887101228537217)×R²
    abs(0.26537868-0.26499518)×0.000156990289466585×R²
    0.000383499999999981×0.000156990289466585×6371000²
    0.000383499999999981×0.000156990289466585×40589641000000     		ar = 4698560.19721212m²