Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8883 / 12012
↖ ↑ ↗
← S 63.975961°
E 15.183105°		 ← 1 071.98 m → S 63.975961°
E 15.205078°		 →
↑
1 071.79 m
↓
↑
1 071.79 m
↓
S 63.985600°
E 15.183105°		 ← 1 071.61 m →
1 148 747 m²		 S 63.985600°
E 15.205078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542205810546875 y=0.733184814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542205810546875 × 214)
    floor (0.542205810546875 × 16384)
    floor (8883.5)     		tx = 8883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733184814453125 × 214)
    floor (0.733184814453125 × 16384)
    floor (12012.5)     		ty = 12012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8883 / 12012 ti = "14/8883/12012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8883/12012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8883 ÷ 214
    8883 ÷ 16384     		x = 0.54217529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12012 ÷ 214
    12012 ÷ 16384     		y = 0.733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54217529296875 × 2 - 1) × π
    0.0843505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26499518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733154296875 × 2 - 1) × π
    -0.46630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46495165238892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26499518} λ = 0.26499518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46495165238892))-π/2
    2×atan(0.231089163816268)-π/2
    2×0.227102583410416-π/2
    0.454205166820833-1.57079632675     		φ = -1.11659116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26499518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.183105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11659116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.975961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8883 KachelY 12012 0.26499518 -1.11659116 15.183105 -63.975961
    Oben rechts KachelX + 1 8884 KachelY 12012 0.26537868 -1.11659116 15.205078 -63.975961
    Unten links KachelX 8883 KachelY + 1 12013 0.26499518 -1.11675939 15.183105 -63.985600
    Unten rechts KachelX + 1 8884 KachelY + 1 12013 0.26537868 -1.11675939 15.205078 -63.985600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11659116--1.11675939) × R
    0.00016822999999988 × 6371000     		dl = 1071.79332999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11659116--1.11675939) × R
    0.00016822999999988 × 6371000     		dr = 1071.79332999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26499518-0.26537868) × cos(-1.11659116) × R
    0.000383499999999981 × 0.438748207371673 × 6371000     		do = 1071.9840619847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26499518-0.26537868) × cos(-1.11675939) × R
    0.000383499999999981 × 0.438597027996165 × 6371000     		du = 1071.61468866688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11659116)-sin(-1.11675939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438748207371673-0.438597027996165)×R²
    abs(0.26537868-0.26499518)×0.000151179375507682×R²
    0.000383499999999981×0.000151179375507682×6371000²
    0.000383499999999981×0.000151179375507682×40589641000000     		ar = 1148747.42428154m²