Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8882 / 11976
↖ ↑ ↗
← S 63.626745°
E 15.161133°		 ← 1 085.32 m → S 63.626745°
E 15.183105°		 →
↑
1 085.11 m
↓
↑
1 085.11 m
↓
S 63.636503°
E 15.161133°		 ← 1 084.94 m →
1 177 485 m²		 S 63.636503°
E 15.183105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542144775390625 y=0.730987548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542144775390625 × 214)
    floor (0.542144775390625 × 16384)
    floor (8882.5)     		tx = 8882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730987548828125 × 214)
    floor (0.730987548828125 × 16384)
    floor (11976.5)     		ty = 11976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8882 / 11976 ti = "14/8882/11976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8882/11976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8882 ÷ 214
    8882 ÷ 16384     		x = 0.5421142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11976 ÷ 214
    11976 ÷ 16384     		y = 0.73095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5421142578125 × 2 - 1) × π
    0.084228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.26461169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73095703125 × 2 - 1) × π
    -0.4619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45114582529834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26461169} λ = 0.26461169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45114582529834))-π/2
    2×atan(0.234301665450161)-π/2
    2×0.230150070218353-π/2
    0.460300140436706-1.57079632675     		φ = -1.11049619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26461169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.161133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11049619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.626745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8882 KachelY 11976 0.26461169 -1.11049619 15.161133 -63.626745
    Oben rechts KachelX + 1 8883 KachelY 11976 0.26499518 -1.11049619 15.183105 -63.626745
    Unten links KachelX 8882 KachelY + 1 11977 0.26461169 -1.11066651 15.161133 -63.636503
    Unten rechts KachelX + 1 8883 KachelY + 1 11977 0.26499518 -1.11066651 15.183105 -63.636503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11049619--1.11066651) × R
    0.000170319999999835 × 6371000     		dl = 1085.10871999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11049619--1.11066651) × R
    0.000170319999999835 × 6371000     		dr = 1085.10871999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26461169-0.26499518) × cos(-1.11049619) × R
    0.000383489999999986 × 0.444217025290261 × 6371000     		do = 1085.31760615893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26461169-0.26499518) × cos(-1.11066651) × R
    0.000383489999999986 × 0.444064425887685 × 6371000     		du = 1084.94477304161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11049619)-sin(-1.11066651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444217025290261-0.444064425887685)×R²
    abs(0.26499518-0.26461169)×0.000152599402575171×R²
    0.000383489999999986×0.000152599402575171×6371000²
    0.000383489999999986×0.000152599402575171×40589641000000     		ar = 1177485.319025m²