Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8877 / 12052
↖ ↑ ↗
← S 64.358931°
E 15.051270°		 ← 1 057.28 m → S 64.358931°
E 15.073242°		 →
↑
1 057.08 m
↓
↑
1 057.08 m
↓
S 64.368438°
E 15.051270°		 ← 1 056.92 m →
1 117 438 m²		 S 64.368438°
E 15.073242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541839599609375 y=0.735626220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541839599609375 × 214)
    floor (0.541839599609375 × 16384)
    floor (8877.5)     		tx = 8877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735626220703125 × 214)
    floor (0.735626220703125 × 16384)
    floor (12052.5)     		ty = 12052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8877 / 12052 ti = "14/8877/12052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8877/12052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8877 ÷ 214
    8877 ÷ 16384     		x = 0.54180908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12052 ÷ 214
    12052 ÷ 16384     		y = 0.735595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54180908203125 × 2 - 1) × π
    0.0836181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.26269421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735595703125 × 2 - 1) × π
    -0.47119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48029146026733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26269421} λ = 0.26269421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48029146026733))-π/2
    2×atan(0.227571350710169)-π/2
    2×0.223760539083422-π/2
    0.447521078166845-1.57079632675     		φ = -1.12327525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26269421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.051270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12327525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.358931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8877 KachelY 12052 0.26269421 -1.12327525 15.051270 -64.358931
    Oben rechts KachelX + 1 8878 KachelY 12052 0.26307771 -1.12327525 15.073242 -64.358931
    Unten links KachelX 8877 KachelY + 1 12053 0.26269421 -1.12344117 15.051270 -64.368438
    Unten rechts KachelX + 1 8878 KachelY + 1 12053 0.26307771 -1.12344117 15.073242 -64.368438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12327525--1.12344117) × R
    0.000165919999999931 × 6371000     		dl = 1057.07631999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12327525--1.12344117) × R
    0.000165919999999931 × 6371000     		dr = 1057.07631999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26269421-0.26307771) × cos(-1.12327525) × R
    0.000383500000000037 × 0.43273206073632 × 6371000     		do = 1057.28494025785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26269421-0.26307771) × cos(-1.12344117) × R
    0.000383500000000037 × 0.432582474153971 × 6371000     		du = 1056.9194585773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12327525)-sin(-1.12344117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43273206073632-0.432582474153971)×R²
    abs(0.26307771-0.26269421)×0.000149586582349481×R²
    0.000383500000000037×0.000149586582349481×6371000²
    0.000383500000000037×0.000149586582349481×40589641000000     		ar = 1117437.70538814m²