Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8876 / 6940
↖ ↑ ↗
← N 80.390064°
W131.242676°		 ← 101.96 m → N 80.390064°
W131.237183°		 →
↑
101.94 m
↓
↑
101.94 m
↓
N 80.389148°
W131.242676°		 ← 101.97 m →
10 394 m²		 N 80.389148°
W131.237183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135444641113281 y=0.105903625488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135444641113281 × 216)
    floor (0.135444641113281 × 65536)
    floor (8876.5)     		tx = 8876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105903625488281 × 216)
    floor (0.105903625488281 × 65536)
    floor (6940.5)     		ty = 6940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8876 / 6940 ti = "16/8876/6940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8876/6940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8876 ÷ 216
    8876 ÷ 65536     		x = 0.13543701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6940 ÷ 216
    6940 ÷ 65536     		y = 0.10589599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13543701171875 × 2 - 1) × π
    -0.7291259765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.29061681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10589599609375 × 2 - 1) × π
    0.7882080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47622848677362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29061681} λ = -2.29061681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47622848677362))-π/2
    2×atan(11.8963126026244)-π/2
    2×1.48693382025479-π/2
    2.97386764050957-1.57079632675     		φ = 1.40307131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29061681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.242676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40307131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.390064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8876 KachelY 6940 -2.29061681 1.40307131 -131.242676 80.390064
    Oben rechts KachelX + 1 8877 KachelY 6940 -2.29052094 1.40307131 -131.237183 80.390064
    Unten links KachelX 8876 KachelY + 1 6941 -2.29061681 1.40305531 -131.242676 80.389148
    Unten rechts KachelX + 1 8877 KachelY + 1 6941 -2.29052094 1.40305531 -131.237183 80.389148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40307131-1.40305531) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dl = 101.936000000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40307131-1.40305531) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dr = 101.936000000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29061681--2.29052094) × cos(1.40307131) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166939724403619 × 6371000     		do = 101.964741992899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29061681--2.29052094) × cos(1.40305531) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166955499855899 × 6371000     		du = 101.974377446218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40307131)-sin(1.40305531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166939724403619-0.166955499855899)×R²
    abs(-2.29052094--2.29061681)×1.57754522808196e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.57754522808196e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.57754522808196e-05×40589641000000     		ar = 10394.3690396181m²