Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8876 / 12053
↖ ↑ ↗
← S 64.368438°
E 15.029297°		 ← 1 056.92 m → S 64.368438°
E 15.051270°		 →
↑
1 056.76 m
↓
↑
1 056.76 m
↓
S 64.377941°
E 15.029297°		 ← 1 056.55 m →
1 116 715 m²		 S 64.377941°
E 15.051270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541778564453125 y=0.735687255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541778564453125 × 214)
    floor (0.541778564453125 × 16384)
    floor (8876.5)     		tx = 8876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735687255859375 × 214)
    floor (0.735687255859375 × 16384)
    floor (12053.5)     		ty = 12053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8876 / 12053 ti = "14/8876/12053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8876/12053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8876 ÷ 214
    8876 ÷ 16384     		x = 0.541748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12053 ÷ 214
    12053 ÷ 16384     		y = 0.73565673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541748046875 × 2 - 1) × π
    0.08349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26231071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73565673828125 × 2 - 1) × π
    -0.4713134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48067495546429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26231071} λ = 0.26231071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48067495546429))-π/2
    2×atan(0.227484094922363)-π/2
    2×0.223677578091995-π/2
    0.44735515618399-1.57079632675     		φ = -1.12344117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26231071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.029297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12344117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.368438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8876 KachelY 12053 0.26231071 -1.12344117 15.029297 -64.368438
    Oben rechts KachelX + 1 8877 KachelY 12053 0.26269421 -1.12344117 15.051270 -64.368438
    Unten links KachelX 8876 KachelY + 1 12054 0.26231071 -1.12360704 15.029297 -64.377941
    Unten rechts KachelX + 1 8877 KachelY + 1 12054 0.26269421 -1.12360704 15.051270 -64.377941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12344117--1.12360704) × R
    0.000165870000000012 × 6371000     		dl = 1056.75777000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12344117--1.12360704) × R
    0.000165870000000012 × 6371000     		dr = 1056.75777000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26231071-0.26269421) × cos(-1.12344117) × R
    0.000383499999999981 × 0.432582474153971 × 6371000     		do = 1056.91945857715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26231071-0.26269421) × cos(-1.12360704) × R
    0.000383499999999981 × 0.432432920746171 × 6371000     		du = 1056.55405795127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12344117)-sin(-1.12360704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432582474153971-0.432432920746171)×R²
    abs(0.26269421-0.26231071)×0.000149553407799707×R²
    0.000383499999999981×0.000149553407799707×6371000²
    0.000383499999999981×0.000149553407799707×40589641000000     		ar = 1116714.78270105m²