Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8870 / 7854
↖ ↑ ↗
← N  7.406048°
E 14.897461°		 ← 2 422.90 m → N  7.406048°
E 14.919434°		 →
↑
2 422.96 m
↓
↑
2 422.96 m
↓
N  7.384258°
E 14.897461°		 ← 2 423.02 m →
5 870 712 m²		 N  7.384258°
E 14.919434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541412353515625 y=0.479400634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541412353515625 × 214)
    floor (0.541412353515625 × 16384)
    floor (8870.5)     		tx = 8870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479400634765625 × 214)
    floor (0.479400634765625 × 16384)
    floor (7854.5)     		ty = 7854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8870 / 7854 ti = "14/8870/7854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8870/7854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8870 ÷ 214
    8870 ÷ 16384     		x = 0.5413818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7854 ÷ 214
    7854 ÷ 16384     		y = 0.4793701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5413818359375 × 2 - 1) × π
    0.082763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26000974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4793701171875 × 2 - 1) × π
    0.041259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.129621376572632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26000974} λ = 0.26000974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.129621376572632))-π/2
    2×atan(1.13839727783741)-π/2
    2×0.850028122007007-π/2
    1.70005624401401-1.57079632675     		φ = 0.12925992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26000974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.897461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12925992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.406048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8870 KachelY 7854 0.26000974 0.12925992 14.897461 7.406048
    Oben rechts KachelX + 1 8871 KachelY 7854 0.26039324 0.12925992 14.919434 7.406048
    Unten links KachelX 8870 KachelY + 1 7855 0.26000974 0.12887961 14.897461 7.384258
    Unten rechts KachelX + 1 8871 KachelY + 1 7855 0.26039324 0.12887961 14.919434 7.384258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12925992-0.12887961) × R
    0.000380309999999995 × 6371000     		dl = 2422.95500999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12925992-0.12887961) × R
    0.000380309999999995 × 6371000     		dr = 2422.95500999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26000974-0.26039324) × cos(0.12925992) × R
    0.000383500000000037 × 0.991657561793962 × 6371000     		do = 2422.89560009384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26000974-0.26039324) × cos(0.12887961) × R
    0.000383500000000037 × 0.991706512140707 × 6371000     		du = 2423.01519942361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12925992)-sin(0.12887961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991657561793962-0.991706512140707)×R²
    abs(0.26039324-0.26000974)×4.89503467450136e-05×R²
    0.000383500000000037×4.89503467450136e-05×6371000²
    0.000383500000000037×4.89503467450136e-05×40589641000000     		ar = 5870711.99561133m²