Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8869 / 7856
↖ ↑ ↗
← N  7.362467°
E 14.875488°		 ← 2 423.07 m → N  7.362467°
E 14.897461°		 →
↑
2 423.15 m
↓
↑
2 423.15 m
↓
N  7.340675°
E 14.875488°		 ← 2 423.19 m →
5 871 600 m²		 N  7.340675°
E 14.897461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541351318359375 y=0.479522705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541351318359375 × 214)
    floor (0.541351318359375 × 16384)
    floor (8869.5)     		tx = 8869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479522705078125 × 214)
    floor (0.479522705078125 × 16384)
    floor (7856.5)     		ty = 7856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8869 / 7856 ti = "14/8869/7856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8869/7856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8869 ÷ 214
    8869 ÷ 16384     		x = 0.54132080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7856 ÷ 214
    7856 ÷ 16384     		y = 0.4794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54132080078125 × 2 - 1) × π
    0.0826416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.25962625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4794921875 × 2 - 1) × π
    0.041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.128854386178711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25962625} λ = 0.25962625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.128854386178711))-π/2
    2×atan(1.13752447282016)-π/2
    2×0.849647807331915-π/2
    1.69929561466383-1.57079632675     		φ = 0.12849929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25962625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.875488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12849929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.362467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8869 KachelY 7856 0.25962625 0.12849929 14.875488 7.362467
    Oben rechts KachelX + 1 8870 KachelY 7856 0.26000974 0.12849929 14.897461 7.362467
    Unten links KachelX 8869 KachelY + 1 7857 0.25962625 0.12811895 14.875488 7.340675
    Unten rechts KachelX + 1 8870 KachelY + 1 7857 0.26000974 0.12811895 14.897461 7.340675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12849929-0.12811895) × R
    0.000380339999999979 × 6371000     		dl = 2423.14613999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12849929-0.12811895) × R
    0.000380339999999979 × 6371000     		dr = 2423.14613999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25962625-0.26000974) × cos(0.12849929) × R
    0.000383489999999986 × 0.991755320332752 × 6371000     		do = 2423.07126669808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25962625-0.26000974) × cos(0.12811895) × R
    0.000383489999999986 × 0.991803987629408 × 6371000     		du = 2423.19017135706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12849929)-sin(0.12811895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991755320332752-0.991803987629408)×R²
    abs(0.26000974-0.25962625)×4.86672966565349e-05×R²
    0.000383489999999986×4.86672966565349e-05×6371000²
    0.000383489999999986×4.86672966565349e-05×40589641000000     		ar = 5871599.91930812m²