Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8869 / 7851
↖ ↑ ↗
← N  7.471411°
E 14.875488°		 ← 2 422.47 m → N  7.471411°
E 14.897461°		 →
↑
2 422.57 m
↓
↑
2 422.57 m
↓
N  7.449624°
E 14.875488°		 ← 2 422.59 m →
5 868 760 m²		 N  7.449624°
E 14.897461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541351318359375 y=0.479217529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541351318359375 × 214)
    floor (0.541351318359375 × 16384)
    floor (8869.5)     		tx = 8869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479217529296875 × 214)
    floor (0.479217529296875 × 16384)
    floor (7851.5)     		ty = 7851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8869 / 7851 ti = "14/8869/7851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8869/7851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8869 ÷ 214
    8869 ÷ 16384     		x = 0.54132080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7851 ÷ 214
    7851 ÷ 16384     		y = 0.47918701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54132080078125 × 2 - 1) × π
    0.0826416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.25962625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47918701171875 × 2 - 1) × π
    0.0416259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.130771862163513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25962625} λ = 0.25962625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.130771862163513))-π/2
    2×atan(1.13970774119232)-π/2
    2×0.850598523455728-π/2
    1.70119704691146-1.57079632675     		φ = 0.13040072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25962625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.875488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13040072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.471411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8869 KachelY 7851 0.25962625 0.13040072 14.875488 7.471411
    Oben rechts KachelX + 1 8870 KachelY 7851 0.26000974 0.13040072 14.897461 7.471411
    Unten links KachelX 8869 KachelY + 1 7852 0.25962625 0.13002047 14.875488 7.449624
    Unten rechts KachelX + 1 8870 KachelY + 1 7852 0.26000974 0.13002047 14.897461 7.449624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13040072-0.13002047) × R
    0.000380249999999999 × 6371000     		dl = 2422.57274999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13040072-0.13002047) × R
    0.000380249999999999 × 6371000     		dr = 2422.57274999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25962625-0.26000974) × cos(0.13040072) × R
    0.000383489999999986 × 0.99150986711177 × 6371000     		do = 2422.47157175833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25962625-0.26000974) × cos(0.13002047) × R
    0.000383489999999986 × 0.991559239896146 × 6371000     		du = 2422.59220007534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13040072)-sin(0.13002047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99150986711177-0.991559239896146)×R²
    abs(0.26000974-0.25962625)×4.93727843757785e-05×R²
    0.000383489999999986×4.93727843757785e-05×6371000²
    0.000383489999999986×4.93727843757785e-05×40589641000000     		ar = 5868759.80354208m²