Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8868 / 7850
↖ ↑ ↗
← N  7.493196°
E 14.853515°		 ← 2 422.41 m → N  7.493196°
E 14.875488°		 →
↑
2 422.45 m
↓
↑
2 422.45 m
↓
N  7.471411°
E 14.853515°		 ← 2 422.53 m →
5 868 312 m²		 N  7.471411°
E 14.875488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541290283203125 y=0.479156494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541290283203125 × 214)
    floor (0.541290283203125 × 16384)
    floor (8868.5)     		tx = 8868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479156494140625 × 214)
    floor (0.479156494140625 × 16384)
    floor (7850.5)     		ty = 7850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8868 / 7850 ti = "14/8868/7850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8868/7850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8868 ÷ 214
    8868 ÷ 16384     		x = 0.541259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7850 ÷ 214
    7850 ÷ 16384     		y = 0.4791259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541259765625 × 2 - 1) × π
    0.08251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25924275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4791259765625 × 2 - 1) × π
    0.041748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.131155357360474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25924275} λ = 0.25924275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.131155357360474))-π/2
    2×atan(1.14014489745531)-π/2
    2×0.850788638346815-π/2
    1.70157727669363-1.57079632675     		φ = 0.13078095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25924275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.853515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13078095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.493196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8868 KachelY 7850 0.25924275 0.13078095 14.853515 7.493196
    Oben rechts KachelX + 1 8869 KachelY 7850 0.25962625 0.13078095 14.875488 7.493196
    Unten links KachelX 8868 KachelY + 1 7851 0.25924275 0.13040072 14.853515 7.471411
    Unten rechts KachelX + 1 8869 KachelY + 1 7851 0.25962625 0.13040072 14.875488 7.471411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13078095-0.13040072) × R
    0.000380230000000009 × 6371000     		dl = 2422.44533000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13078095-0.13040072) × R
    0.000380230000000009 × 6371000     		dr = 2422.44533000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25924275-0.25962625) × cos(0.13078095) × R
    0.000383499999999981 × 0.991460353573092 × 6371000     		do = 2422.41376548742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25924275-0.25962625) × cos(0.13040072) × R
    0.000383499999999981 × 0.99150986711177 × 6371000     		du = 2422.53474085193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13078095)-sin(0.13040072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991460353573092-0.99150986711177)×R²
    abs(0.25962625-0.25924275)×4.95135386782142e-05×R²
    0.000383499999999981×4.95135386782142e-05×6371000²
    0.000383499999999981×4.95135386782142e-05×40589641000000     		ar = 5868311.51233704m²