Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8868 / 7846
↖ ↑ ↗
← N  7.580328°
E 14.853515°		 ← 2 421.93 m → N  7.580328°
E 14.875488°		 →
↑
2 422 m
↓
↑
2 422 m
↓
N  7.558546°
E 14.853515°		 ← 2 422.05 m →
5 866 052 m²		 N  7.558546°
E 14.875488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541290283203125 y=0.478912353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541290283203125 × 214)
    floor (0.541290283203125 × 16384)
    floor (8868.5)     		tx = 8868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478912353515625 × 214)
    floor (0.478912353515625 × 16384)
    floor (7846.5)     		ty = 7846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8868 / 7846 ti = "14/8868/7846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8868/7846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8868 ÷ 214
    8868 ÷ 16384     		x = 0.541259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7846 ÷ 214
    7846 ÷ 16384     		y = 0.4788818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541259765625 × 2 - 1) × π
    0.08251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25924275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4788818359375 × 2 - 1) × π
    0.042236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.132689338148315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25924275} λ = 0.25924275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.132689338148315))-π/2
    2×atan(1.14189519994534)-π/2
    2×0.851549002565139-π/2
    1.70309800513028-1.57079632675     		φ = 0.13230168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25924275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.853515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13230168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.580328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8868 KachelY 7846 0.25924275 0.13230168 14.853515 7.580328
    Oben rechts KachelX + 1 8869 KachelY 7846 0.25962625 0.13230168 14.875488 7.580328
    Unten links KachelX 8868 KachelY + 1 7847 0.25924275 0.13192152 14.853515 7.558546
    Unten rechts KachelX + 1 8869 KachelY + 1 7847 0.25962625 0.13192152 14.875488 7.558546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13230168-0.13192152) × R
    0.000380160000000018 × 6371000     		dl = 2421.99936000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13230168-0.13192152) × R
    0.000380160000000018 × 6371000     		dr = 2421.99936000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25924275-0.25962625) × cos(0.13230168) × R
    0.000383499999999981 × 0.991260891152012 × 6371000     		do = 2421.92642324243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25924275-0.25962625) × cos(0.13192152) × R
    0.000383499999999981 × 0.991310968729109 × 6371000     		du = 2422.04877670988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13230168)-sin(0.13192152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991260891152012-0.991310968729109)×R²
    abs(0.25962625-0.25924275)×5.00775770964079e-05×R²
    0.000383499999999981×5.00775770964079e-05×6371000²
    0.000383499999999981×5.00775770964079e-05×40589641000000     		ar = 5866052.4877181m²