Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8866 / 7843
↖ ↑ ↗
← N  7.645665°
E 14.809570°		 ← 2 421.56 m → N  7.645665°
E 14.831543°		 →
↑
2 421.55 m
↓
↑
2 421.55 m
↓
N  7.623887°
E 14.809570°		 ← 2 421.68 m →
5 864 080 m²		 N  7.623887°
E 14.831543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541168212890625 y=0.478729248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541168212890625 × 214)
    floor (0.541168212890625 × 16384)
    floor (8866.5)     		tx = 8866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478729248046875 × 214)
    floor (0.478729248046875 × 16384)
    floor (7843.5)     		ty = 7843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8866 / 7843 ti = "14/8866/7843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8866/7843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8866 ÷ 214
    8866 ÷ 16384     		x = 0.5411376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7843 ÷ 214
    7843 ÷ 16384     		y = 0.47869873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5411376953125 × 2 - 1) × π
    0.082275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.25847576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47869873046875 × 2 - 1) × π
    0.0426025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.133839823739197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25847576} λ = 0.25847576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.133839823739197))-π/2
    2×atan(1.14320968992508)-π/2
    2×0.852119174859803-π/2
    1.70423834971961-1.57079632675     		φ = 0.13344202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25847576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.809570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13344202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.645665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8866 KachelY 7843 0.25847576 0.13344202 14.809570 7.645665
    Oben rechts KachelX + 1 8867 KachelY 7843 0.25885926 0.13344202 14.831543 7.645665
    Unten links KachelX 8866 KachelY + 1 7844 0.25847576 0.13306193 14.809570 7.623887
    Unten rechts KachelX + 1 8867 KachelY + 1 7844 0.25885926 0.13306193 14.831543 7.623887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13344202-0.13306193) × R
    0.00038009 × 6371000     		dl = 2421.55339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13344202-0.13306193) × R
    0.00038009 × 6371000     		dr = 2421.55339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25847576-0.25885926) × cos(0.13344202) × R
    0.000383499999999981 × 0.991109817524472 × 6371000     		do = 2421.55730829635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25847576-0.25885926) × cos(0.13306193) × R
    0.000383499999999981 × 0.991160315516052 × 6371000     		du = 2421.68068895347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13344202)-sin(0.13306193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991109817524472-0.991160315516052)×R²
    abs(0.25885926-0.25847576)×5.04979915808557e-05×R²
    0.000383499999999981×5.04979915808557e-05×6371000²
    0.000383499999999981×5.04979915808557e-05×40589641000000     		ar = 5864079.76600658m²