Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8866 / 12962
↖ ↑ ↗
← S 71.760191°
E 14.809570°		 ← 764.73 m → S 71.760191°
E 14.831543°		 →
↑
764.58 m
↓
↑
764.58 m
↓
S 71.767067°
E 14.809570°		 ← 764.46 m →
584 596 m²		 S 71.767067°
E 14.831543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541168212890625 y=0.791168212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541168212890625 × 214)
    floor (0.541168212890625 × 16384)
    floor (8866.5)     		tx = 8866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791168212890625 × 214)
    floor (0.791168212890625 × 16384)
    floor (12962.5)     		ty = 12962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8866 / 12962 ti = "14/8866/12962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8866/12962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8866 ÷ 214
    8866 ÷ 16384     		x = 0.5411376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12962 ÷ 214
    12962 ÷ 16384     		y = 0.7911376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5411376953125 × 2 - 1) × π
    0.082275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.25847576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7911376953125 × 2 - 1) × π
    -0.582275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.82927208950134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25847576} λ = 0.25847576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82927208950134))-π/2
    2×atan(0.160530377003458)-π/2
    2×0.159172357618637-π/2
    0.318344715237275-1.57079632675     		φ = -1.25245161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25847576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.809570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25245161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.760191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8866 KachelY 12962 0.25847576 -1.25245161 14.809570 -71.760191
    Oben rechts KachelX + 1 8867 KachelY 12962 0.25885926 -1.25245161 14.831543 -71.760191
    Unten links KachelX 8866 KachelY + 1 12963 0.25847576 -1.25257162 14.809570 -71.767067
    Unten rechts KachelX + 1 8867 KachelY + 1 12963 0.25885926 -1.25257162 14.831543 -71.767067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25245161--1.25257162) × R
    0.000120010000000059 × 6371000     		dl = 764.583710000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25245161--1.25257162) × R
    0.000120010000000059 × 6371000     		dr = 764.583710000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25847576-0.25885926) × cos(-1.25245161) × R
    0.000383499999999981 × 0.312994876938216 × 6371000     		do = 764.733653433251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25847576-0.25885926) × cos(-1.25257162) × R
    0.000383499999999981 × 0.312880894609304 × 6371000     		du = 764.455162859641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25245161)-sin(-1.25257162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312994876938216-0.312880894609304)×R²
    abs(0.25885926-0.25847576)×0.00011398232891191×R²
    0.000383499999999981×0.00011398232891191×6371000²
    0.000383499999999981×0.00011398232891191×40589641000000     		ar = 584596.429928353m²