Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8865 / 7849
↖ ↑ ↗
← N  7.514981°
E 14.787598°		 ← 2 422.23 m → N  7.514981°
E 14.809570°		 →
↑
2 422.32 m
↓
↑
2 422.32 m
↓
N  7.493196°
E 14.787598°		 ← 2 422.35 m →
5 867 556 m²		 N  7.493196°
E 14.809570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541107177734375 y=0.479095458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541107177734375 × 214)
    floor (0.541107177734375 × 16384)
    floor (8865.5)     		tx = 8865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479095458984375 × 214)
    floor (0.479095458984375 × 16384)
    floor (7849.5)     		ty = 7849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8865 / 7849 ti = "14/8865/7849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8865/7849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8865 ÷ 214
    8865 ÷ 16384     		x = 0.54107666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7849 ÷ 214
    7849 ÷ 16384     		y = 0.47906494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54107666015625 × 2 - 1) × π
    0.0821533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25809227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47906494140625 × 2 - 1) × π
    0.0418701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.131538852557434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25809227} λ = 0.25809227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.131538852557434))-π/2
    2×atan(1.14058222139778)-π/2
    2×0.850978743730302-π/2
    1.7019574874606-1.57079632675     		φ = 0.13116116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25809227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.787598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13116116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.514981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8865 KachelY 7849 0.25809227 0.13116116 14.787598 7.514981
    Oben rechts KachelX + 1 8866 KachelY 7849 0.25847576 0.13116116 14.809570 7.514981
    Unten links KachelX 8865 KachelY + 1 7850 0.25809227 0.13078095 14.787598 7.493196
    Unten rechts KachelX + 1 8866 KachelY + 1 7850 0.25847576 0.13078095 14.809570 7.493196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13116116-0.13078095) × R
    0.000380209999999992 × 6371000     		dl = 2422.31790999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13116116-0.13078095) × R
    0.000380209999999992 × 6371000     		dr = 2422.31790999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25809227-0.25847576) × cos(0.13116116) × R
    0.000383489999999986 × 0.991410699309889 × 6371000     		do = 2422.22928351808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25809227-0.25847576) × cos(0.13078095) × R
    0.000383489999999986 × 0.991460353573092 × 6371000     		du = 2422.35059954832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13116116)-sin(0.13078095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991410699309889-0.991460353573092)×R²
    abs(0.25847576-0.25809227)×4.9654263202803e-05×R²
    0.000383489999999986×4.9654263202803e-05×6371000²
    0.000383489999999986×4.9654263202803e-05×40589641000000     		ar = 5867556.37927304m²