Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8864 / 7845
↖ ↑ ↗
← N  7.602108°
E 14.765625°		 ← 2 421.80 m → N  7.602108°
E 14.787598°		 →
↑
2 421.81 m
↓
↑
2 421.81 m
↓
N  7.580328°
E 14.765625°		 ← 2 421.93 m →
5 865 293 m²		 N  7.580328°
E 14.787598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541046142578125 y=0.478851318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541046142578125 × 214)
    floor (0.541046142578125 × 16384)
    floor (8864.5)     		tx = 8864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478851318359375 × 214)
    floor (0.478851318359375 × 16384)
    floor (7845.5)     		ty = 7845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8864 / 7845 ti = "14/8864/7845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8864/7845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8864 ÷ 214
    8864 ÷ 16384     		x = 0.541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7845 ÷ 214
    7845 ÷ 16384     		y = 0.47882080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541015625 × 2 - 1) × π
    0.08203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25770877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47882080078125 × 2 - 1) × π
    0.0423583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.133072833345276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25770877} λ = 0.25770877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.133072833345276))-π/2
    2×atan(1.14233319524913)-π/2
    2×0.85173906964824-π/2
    1.70347813929648-1.57079632675     		φ = 0.13268181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25770877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13268181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.602108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8864 KachelY 7845 0.25770877 0.13268181 14.765625 7.602108
    Oben rechts KachelX + 1 8865 KachelY 7845 0.25809227 0.13268181 14.787598 7.602108
    Unten links KachelX 8864 KachelY + 1 7846 0.25770877 0.13230168 14.765625 7.580328
    Unten rechts KachelX + 1 8865 KachelY + 1 7846 0.25809227 0.13230168 14.787598 7.580328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13268181-0.13230168) × R
    0.000380130000000006 × 6371000     		dl = 2421.80823000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13268181-0.13230168) × R
    0.000380130000000006 × 6371000     		dr = 2421.80823000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25770877-0.25809227) × cos(0.13268181) × R
    0.000383500000000037 × 0.991210674285068 × 6371000     		do = 2421.80372945144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25770877-0.25809227) × cos(0.13230168) × R
    0.000383500000000037 × 0.991260891152012 × 6371000     		du = 2421.92642324278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13268181)-sin(0.13230168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991210674285068-0.991260891152012)×R²
    abs(0.25809227-0.25770877)×5.02168669440639e-05×R²
    0.000383500000000037×5.02168669440639e-05×6371000²
    0.000383500000000037×5.02168669440639e-05×40589641000000     		ar = 5865292.84447465m²