Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8864 / 12023
↖ ↑ ↗
← S 64.081805°
E 14.765625°		 ← 1 067.93 m → S 64.081805°
E 14.787598°		 →
↑
1 067.72 m
↓
↑
1 067.72 m
↓
S 64.091407°
E 14.765625°		 ← 1 067.56 m →
1 140 045 m²		 S 64.091407°
E 14.787598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541046142578125 y=0.733856201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541046142578125 × 214)
    floor (0.541046142578125 × 16384)
    floor (8864.5)     		tx = 8864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733856201171875 × 214)
    floor (0.733856201171875 × 16384)
    floor (12023.5)     		ty = 12023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8864 / 12023 ti = "14/8864/12023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8864/12023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8864 ÷ 214
    8864 ÷ 16384     		x = 0.541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12023 ÷ 214
    12023 ÷ 16384     		y = 0.73382568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541015625 × 2 - 1) × π
    0.08203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25770877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73382568359375 × 2 - 1) × π
    -0.4676513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46917009955548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25770877} λ = 0.25770877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46917009955548))-π/2
    2×atan(0.23011637964983)-π/2
    2×0.226178917665052-π/2
    0.452357835330105-1.57079632675     		φ = -1.11843849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25770877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11843849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.081805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8864 KachelY 12023 0.25770877 -1.11843849 14.765625 -64.081805
    Oben rechts KachelX + 1 8865 KachelY 12023 0.25809227 -1.11843849 14.787598 -64.081805
    Unten links KachelX 8864 KachelY + 1 12024 0.25770877 -1.11860608 14.765625 -64.091407
    Unten rechts KachelX + 1 8865 KachelY + 1 12024 0.25809227 -1.11860608 14.787598 -64.091407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11843849--1.11860608) × R
    0.000167589999999995 × 6371000     		dl = 1067.71588999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11843849--1.11860608) × R
    0.000167589999999995 × 6371000     		dr = 1067.71588999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25770877-0.25809227) × cos(-1.11843849) × R
    0.000383500000000037 × 0.437087430381911 × 6371000     		do = 1067.92632127247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25770877-0.25809227) × cos(-1.11860608) × R
    0.000383500000000037 × 0.436936690610512 × 6371000     		du = 1067.55802202992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11843849)-sin(-1.11860608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437087430381911-0.436936690610512)×R²
    abs(0.25809227-0.25770877)×0.000150739771398678×R²
    0.000383500000000037×0.000150739771398678×6371000²
    0.000383500000000037×0.000150739771398678×40589641000000     		ar = 1140045.28576358m²