Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8862 / 6717
↖ ↑ ↗
← N 80.592421°
W131.319580°		 ← 99.84 m → N 80.592421°
W131.314087°		 →
↑
99.83 m
↓
↑
99.83 m
↓
N 80.591523°
W131.319580°		 ← 99.85 m →
9 968 m²		 N 80.591523°
W131.314087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135231018066406 y=0.102500915527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135231018066406 × 216)
    floor (0.135231018066406 × 65536)
    floor (8862.5)     		tx = 8862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102500915527344 × 216)
    floor (0.102500915527344 × 65536)
    floor (6717.5)     		ty = 6717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8862 / 6717 ti = "16/8862/6717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8862/6717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8862 ÷ 216
    8862 ÷ 65536     		x = 0.135223388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6717 ÷ 216
    6717 ÷ 65536     		y = 0.102493286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.135223388671875 × 2 - 1) × π
    -0.72955322265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.29195904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102493286132812 × 2 - 1) × π
    0.795013427734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.49760834400417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29195904} λ = -2.29195904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49760834400417))-π/2
    2×atan(12.1533924402628)-π/2
    2×1.48869971247345-π/2
    2.97739942494691-1.57079632675     		φ = 1.40660310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29195904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.319580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40660310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.592421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8862 KachelY 6717 -2.29195904 1.40660310 -131.319580 80.592421
    Oben rechts KachelX + 1 8863 KachelY 6717 -2.29186317 1.40660310 -131.314087 80.592421
    Unten links KachelX 8862 KachelY + 1 6718 -2.29195904 1.40658743 -131.319580 80.591523
    Unten rechts KachelX + 1 8863 KachelY + 1 6718 -2.29186317 1.40658743 -131.314087 80.591523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40660310-1.40658743) × R
    1.56700000000232e-05 × 6371000     		dl = 99.8335700001476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40660310-1.40658743) × R
    1.56700000000232e-05 × 6371000     		dr = 99.8335700001476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29195904--2.29186317) × cos(1.40660310) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163456461724173 × 6371000     		do = 99.837207748596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29195904--2.29186317) × cos(1.40658743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163471920951202 × 6371000     		du = 99.846650055399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40660310)-sin(1.40658743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163456461724173-0.163471920951202)×R²
    abs(-2.29186317--2.29195904)×1.54592270290854e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.54592270290854e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.54592270290854e-05×40589641000000     		ar = 9967.57619827126m²