Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8861 / 12003
↖ ↑ ↗
← S 63.889062°
E 14.699707°		 ← 1 075.28 m → S 63.889062°
E 14.721680°		 →
↑
1 075.11 m
↓
↑
1 075.11 m
↓
S 63.898731°
E 14.699707°		 ← 1 074.91 m →
1 155 846 m²		 S 63.898731°
E 14.721680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540863037109375 y=0.732635498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540863037109375 × 214)
    floor (0.540863037109375 × 16384)
    floor (8861.5)     		tx = 8861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732635498046875 × 214)
    floor (0.732635498046875 × 16384)
    floor (12003.5)     		ty = 12003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8861 / 12003 ti = "14/8861/12003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8861/12003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8861 ÷ 214
    8861 ÷ 16384     		x = 0.54083251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12003 ÷ 214
    12003 ÷ 16384     		y = 0.73260498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54083251953125 × 2 - 1) × π
    0.0816650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.25655829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73260498046875 × 2 - 1) × π
    -0.4652099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46150019561627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25655829} λ = 0.25655829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46150019561627))-π/2
    2×atan(0.231888136091792)-π/2
    2×0.227860918742134-π/2
    0.455721837484269-1.57079632675     		φ = -1.11507449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25655829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.699707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11507449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.889062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8861 KachelY 12003 0.25655829 -1.11507449 14.699707 -63.889062
    Oben rechts KachelX + 1 8862 KachelY 12003 0.25694178 -1.11507449 14.721680 -63.889062
    Unten links KachelX 8861 KachelY + 1 12004 0.25655829 -1.11524324 14.699707 -63.898731
    Unten rechts KachelX + 1 8862 KachelY + 1 12004 0.25694178 -1.11524324 14.721680 -63.898731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11507449--1.11524324) × R
    0.000168750000000051 × 6371000     		dl = 1075.10625000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11507449--1.11524324) × R
    0.000168750000000051 × 6371000     		dr = 1075.10625000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25655829-0.25694178) × cos(-1.11507449) × R
    0.000383489999999986 × 0.440110597120553 × 6371000     		do = 1075.28472012063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25655829-0.25694178) × cos(-1.11524324) × R
    0.000383489999999986 × 0.439959062876721 × 6371000     		du = 1074.91448941491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11507449)-sin(-1.11524324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440110597120553-0.439959062876721)×R²
    abs(0.25694178-0.25655829)×0.000151534243831963×R²
    0.000383489999999986×0.000151534243831963×6371000²
    0.000383489999999986×0.000151534243831963×40589641000000     		ar = 1155846.30720089m²