Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8860 / 12004
↖ ↑ ↗
← S 63.898731°
E 14.677734°		 ← 1 074.94 m → S 63.898731°
E 14.699707°		 →
↑
1 074.72 m
↓
↑
1 074.72 m
↓
S 63.908396°
E 14.677734°		 ← 1 074.57 m →
1 155 068 m²		 S 63.908396°
E 14.699707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540802001953125 y=0.732696533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540802001953125 × 214)
    floor (0.540802001953125 × 16384)
    floor (8860.5)     		tx = 8860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732696533203125 × 214)
    floor (0.732696533203125 × 16384)
    floor (12004.5)     		ty = 12004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8860 / 12004 ti = "14/8860/12004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8860/12004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8860 ÷ 214
    8860 ÷ 16384     		x = 0.540771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12004 ÷ 214
    12004 ÷ 16384     		y = 0.732666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540771484375 × 2 - 1) × π
    0.08154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25617479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732666015625 × 2 - 1) × π
    -0.46533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46188369081323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25617479} λ = 0.25617479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46188369081323))-π/2
    2×atan(0.231799225154917)-π/2
    2×0.227776543120856-π/2
    0.455553086241713-1.57079632675     		φ = -1.11524324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25617479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.677734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11524324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.898731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8860 KachelY 12004 0.25617479 -1.11524324 14.677734 -63.898731
    Oben rechts KachelX + 1 8861 KachelY 12004 0.25655829 -1.11524324 14.699707 -63.898731
    Unten links KachelX 8860 KachelY + 1 12005 0.25617479 -1.11541193 14.677734 -63.908396
    Unten rechts KachelX + 1 8861 KachelY + 1 12005 0.25655829 -1.11541193 14.699707 -63.908396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11524324--1.11541193) × R
    0.000168689999999971 × 6371000     		dl = 1074.72398999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11524324--1.11541193) × R
    0.000168689999999971 × 6371000     		dr = 1074.72398999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25617479-0.25655829) × cos(-1.11524324) × R
    0.000383500000000037 × 0.439959062876721 × 6371000     		do = 1074.94251920694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25617479-0.25655829) × cos(-1.11541193) × R
    0.000383500000000037 × 0.43980756998989 × 6371000     		du = 1074.57237989365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11524324)-sin(-1.11541193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439959062876721-0.43980756998989)×R²
    abs(0.25655829-0.25617479)×0.000151492886830806×R²
    0.000383500000000037×0.000151492886830806×6371000²
    0.000383500000000037×0.000151492886830806×40589641000000     		ar = 1155067.61720219m²