Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8856 / 12105
↖ ↑ ↗
← S 64.858274°
E 14.589844°		 ← 1 038.05 m → S 64.858274°
E 14.611817°		 →
↑
1 037.84 m
↓
↑
1 037.84 m
↓
S 64.867608°
E 14.589844°		 ← 1 037.69 m →
1 077 137 m²		 S 64.867608°
E 14.611817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540557861328125 y=0.738861083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540557861328125 × 214)
    floor (0.540557861328125 × 16384)
    floor (8856.5)     		tx = 8856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738861083984375 × 214)
    floor (0.738861083984375 × 16384)
    floor (12105.5)     		ty = 12105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8856 / 12105 ti = "14/8856/12105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8856/12105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8856 ÷ 214
    8856 ÷ 16384     		x = 0.54052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12105 ÷ 214
    12105 ÷ 16384     		y = 0.73883056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54052734375 × 2 - 1) × π
    0.0810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25464081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73883056640625 × 2 - 1) × π
    -0.4776611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50061670570624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25464081} λ = 0.25464081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50061670570624))-π/2
    2×atan(0.222992596927804)-π/2
    2×0.219402947776635-π/2
    0.438805895553269-1.57079632675     		φ = -1.13199043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25464081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13199043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.858274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8856 KachelY 12105 0.25464081 -1.13199043 14.589844 -64.858274
    Oben rechts KachelX + 1 8857 KachelY 12105 0.25502431 -1.13199043 14.611817 -64.858274
    Unten links KachelX 8856 KachelY + 1 12106 0.25464081 -1.13215333 14.589844 -64.867608
    Unten rechts KachelX + 1 8857 KachelY + 1 12106 0.25502431 -1.13215333 14.611817 -64.867608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13199043--1.13215333) × R
    0.000162899999999855 × 6371000     		dl = 1037.83589999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13199043--1.13215333) × R
    0.000162899999999855 × 6371000     		dr = 1037.83589999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25464081-0.25502431) × cos(-1.13199043) × R
    0.000383499999999981 × 0.424858794792101 × 6371000     		do = 1038.0483588514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25464081-0.25502431) × cos(-1.13215333) × R
    0.000383499999999981 × 0.424711322361303 × 6371000     		du = 1037.68804263189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13199043)-sin(-1.13215333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424858794792101-0.424711322361303)×R²
    abs(0.25502431-0.25464081)×0.000147472430798268×R²
    0.000383499999999981×0.000147472430798268×6371000²
    0.000383499999999981×0.000147472430798268×40589641000000     		ar = 1077136.88057995m²