Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8849 / 25771
↖ ↑ ↗
← S 71.226685°
W 82.781982°		 ← 393.13 m → S 71.226685°
W 82.770996°		 →
↑
393.15 m
↓
↑
393.15 m
↓
S 71.230221°
W 82.781982°		 ← 393.06 m →
154 548 m²		 S 71.230221°
W 82.770996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.270065307617188 y=0.786483764648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.270065307617188 × 215)
    floor (0.270065307617188 × 32768)
    floor (8849.5)     		tx = 8849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786483764648438 × 215)
    floor (0.786483764648438 × 32768)
    floor (25771.5)     		ty = 25771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8849 / 25771 ti = "15/8849/25771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8849/25771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8849 ÷ 215
    8849 ÷ 32768     		x = 0.270050048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25771 ÷ 215
    25771 ÷ 32768     		y = 0.786468505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.270050048828125 × 2 - 1) × π
    -0.45989990234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.44481815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786468505859375 × 2 - 1) × π
    -0.57293701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79993470693387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44481815} λ = -1.44481815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79993470693387))-π/2
    2×atan(0.165309681445184)-π/2
    2×0.163828077636764-π/2
    0.327656155273527-1.57079632675     		φ = -1.24314017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44481815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.781982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24314017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.226685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8849 KachelY 25771 -1.44481815 -1.24314017 -82.781982 -71.226685
    Oben rechts KachelX + 1 8850 KachelY 25771 -1.44462641 -1.24314017 -82.770996 -71.226685
    Unten links KachelX 8849 KachelY + 1 25772 -1.44481815 -1.24320188 -82.781982 -71.230221
    Unten rechts KachelX + 1 8850 KachelY + 1 25772 -1.44462641 -1.24320188 -82.770996 -71.230221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24314017--1.24320188) × R
    6.17099999999926e-05 × 6371000     		dl = 393.154409999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24314017--1.24320188) × R
    6.17099999999926e-05 × 6371000     		dr = 393.154409999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44481815--1.44462641) × cos(-1.24314017) × R
    0.000191739999999996 × 0.321824765425337 × 6371000     		do = 393.133261609821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44481815--1.44462641) × cos(-1.24320188) × R
    0.000191739999999996 × 0.321766337830865 × 6371000     		du = 393.061887889552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24314017)-sin(-1.24320188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321824765425337-0.321766337830865)×R²
    abs(-1.44462641--1.44481815)×5.84275944729429e-05×R²
    0.000191739999999996×5.84275944729429e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.84275944729429e-05×40589641000000     		ar = 154548.045121954m²