Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8841 / 25772
↖ ↑ ↗
← S 71.230221°
W 82.869873°		 ← 393.08 m → S 71.230221°
W 82.858887°		 →
↑
393.03 m
↓
↑
393.03 m
↓
S 71.233755°
W 82.869873°		 ← 393.01 m →
154 478 m²		 S 71.233755°
W 82.858887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269821166992188 y=0.786514282226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269821166992188 × 215)
    floor (0.269821166992188 × 32768)
    floor (8841.5)     		tx = 8841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786514282226562 × 215)
    floor (0.786514282226562 × 32768)
    floor (25772.5)     		ty = 25772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8841 / 25772 ti = "15/8841/25772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8841/25772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8841 ÷ 215
    8841 ÷ 32768     		x = 0.269805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25772 ÷ 215
    25772 ÷ 32768     		y = 0.7864990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269805908203125 × 2 - 1) × π
    -0.46038818359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.44635214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7864990234375 × 2 - 1) × π
    -0.572998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80012645453235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44635214} λ = -1.44635214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80012645453235))-π/2
    2×atan(0.165277986749549)-π/2
    2×0.16379722587457-π/2
    0.327594451749139-1.57079632675     		φ = -1.24320188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44635214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.869873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24320188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.230221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8841 KachelY 25772 -1.44635214 -1.24320188 -82.869873 -71.230221
    Oben rechts KachelX + 1 8842 KachelY 25772 -1.44616039 -1.24320188 -82.858887 -71.230221
    Unten links KachelX 8841 KachelY + 1 25773 -1.44635214 -1.24326357 -82.869873 -71.233755
    Unten rechts KachelX + 1 8842 KachelY + 1 25773 -1.44616039 -1.24326357 -82.858887 -71.233755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24320188--1.24326357) × R
    6.16900000001142e-05 × 6371000     		dl = 393.026990000727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24320188--1.24326357) × R
    6.16900000001142e-05 × 6371000     		dr = 393.026990000727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44635214--1.44616039) × cos(-1.24320188) × R
    0.000191749999999935 × 0.321766337830865 × 6371000     		do = 393.082387622811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44635214--1.44616039) × cos(-1.24326357) × R
    0.000191749999999935 × 0.321707927947845 × 6371000     		du = 393.011031817126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24320188)-sin(-1.24326357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321766337830865-0.321707927947845)×R²
    abs(-1.44616039--1.44635214)×5.8409883019972e-05×R²
    0.000191749999999935×5.8409883019972e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.8409883019972e-05×40589641000000     		ar = 154477.965299494m²