Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8837 / 25776
↖ ↑ ↗
← S 71.244356°
W 82.913819°		 ← 392.80 m → S 71.244356°
W 82.902832°		 →
↑
392.71 m
↓
↑
392.71 m
↓
S 71.247887°
W 82.913819°		 ← 392.73 m →
154 241 m²		 S 71.247887°
W 82.902832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269699096679688 y=0.786636352539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269699096679688 × 215)
    floor (0.269699096679688 × 32768)
    floor (8837.5)     		tx = 8837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786636352539062 × 215)
    floor (0.786636352539062 × 32768)
    floor (25776.5)     		ty = 25776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8837 / 25776 ti = "15/8837/25776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8837/25776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8837 ÷ 215
    8837 ÷ 32768     		x = 0.269683837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25776 ÷ 215
    25776 ÷ 32768     		y = 0.78662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269683837890625 × 2 - 1) × π
    -0.46063232421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.44711913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78662109375 × 2 - 1) × π
    -0.5732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80089344492627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44711913} λ = -1.44711913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80089344492627))-π/2
    2×atan(0.165151268723353)-π/2
    2×0.16367387482318-π/2
    0.32734774964636-1.57079632675     		φ = -1.24344858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44711913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.913819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24344858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.244356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8837 KachelY 25776 -1.44711913 -1.24344858 -82.913819 -71.244356
    Oben rechts KachelX + 1 8838 KachelY 25776 -1.44692738 -1.24344858 -82.902832 -71.244356
    Unten links KachelX 8837 KachelY + 1 25777 -1.44711913 -1.24351022 -82.913819 -71.247887
    Unten rechts KachelX + 1 8838 KachelY + 1 25777 -1.44692738 -1.24351022 -82.902832 -71.247887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24344858--1.24351022) × R
    6.1640000000196e-05 × 6371000     		dl = 392.708440001249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24344858--1.24351022) × R
    6.1640000000196e-05 × 6371000     		dr = 392.708440001249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44711913--1.44692738) × cos(-1.24344858) × R
    0.000191749999999935 × 0.321532747767724 × 6371000     		do = 392.797024833268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44711913--1.44692738) × cos(-1.24351022) × R
    0.000191749999999935 × 0.321474380335903 × 6371000     		du = 392.725720887634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24344858)-sin(-1.24351022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321532747767724-0.321474380335903)×R²
    abs(-1.44692738--1.44711913)×5.83674318209715e-05×R²
    0.000191749999999935×5.83674318209715e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.83674318209715e-05×40589641000000     		ar = 154240.706077554m²