Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8834 / 11651
↖ ↑ ↗
← N 74.955115°
W131.473389°		 ← 158.55 m → N 74.955115°
W131.467896°		 →
↑
158.57 m
↓
↑
158.57 m
↓
N 74.953688°
W131.473389°		 ← 158.56 m →
25 142 m²		 N 74.953688°
W131.467896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.134803771972656 y=0.177787780761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.134803771972656 × 216)
    floor (0.134803771972656 × 65536)
    floor (8834.5)     		tx = 8834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.177787780761719 × 216)
    floor (0.177787780761719 × 65536)
    floor (11651.5)     		ty = 11651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8834 / 11651 ti = "16/8834/11651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8834/11651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8834 ÷ 216
    8834 ÷ 65536     		x = 0.134796142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11651 ÷ 216
    11651 ÷ 65536     		y = 0.177780151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.134796142578125 × 2 - 1) × π
    -0.73040771484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.29464351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.177780151367188 × 2 - 1) × π
    0.644439697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.02456701855345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29464351} λ = -2.29464351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.02456701855345))-π/2
    2×atan(7.57283133921621)-π/2
    2×1.43950493368566-π/2
    2.87900986737132-1.57079632675     		φ = 1.30821354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29464351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.473389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30821354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.955115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8834 KachelY 11651 -2.29464351 1.30821354 -131.473389 74.955115
    Oben rechts KachelX + 1 8835 KachelY 11651 -2.29454764 1.30821354 -131.467896 74.955115
    Unten links KachelX 8834 KachelY + 1 11652 -2.29464351 1.30818865 -131.473389 74.953688
    Unten rechts KachelX + 1 8835 KachelY + 1 11652 -2.29454764 1.30818865 -131.467896 74.953688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30821354-1.30818865) × R
    2.48899999999441e-05 × 6371000     		dl = 158.574189999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30821354-1.30818865) × R
    2.48899999999441e-05 × 6371000     		dr = 158.574189999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29464351--2.29454764) × cos(1.30821354) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.259575670926972 × 6371000     		do = 158.545645191736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29464351--2.29454764) × cos(1.30818865) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.259599707686343 × 6371000     		du = 158.56032655039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30821354)-sin(1.30818865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.259575670926972-0.259599707686343)×R²
    abs(-2.29454764--2.29464351)×2.40367593706825e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.40367593706825e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.40367593706825e-05×40589641000000     		ar = 25142.4113078862m²