Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8833 / 12931
↖ ↑ ↗
← S 71.545786°
E 14.084473°		 ← 773.41 m → S 71.545786°
E 14.106446°		 →
↑
773.25 m
↓
↑
773.25 m
↓
S 71.552740°
E 14.084473°		 ← 773.13 m →
597 931 m²		 S 71.552740°
E 14.106446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539154052734375 y=0.789276123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539154052734375 × 214)
    floor (0.539154052734375 × 16384)
    floor (8833.5)     		tx = 8833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.789276123046875 × 214)
    floor (0.789276123046875 × 16384)
    floor (12931.5)     		ty = 12931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8833 / 12931 ti = "14/8833/12931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8833/12931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8833 ÷ 214
    8833 ÷ 16384     		x = 0.53912353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12931 ÷ 214
    12931 ÷ 16384     		y = 0.78924560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53912353515625 × 2 - 1) × π
    0.0782470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24582042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78924560546875 × 2 - 1) × π
    -0.5784912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.81738373839557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24582042} λ = 0.24582042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81738373839557))-π/2
    2×atan(0.162450207687821)-π/2
    2×0.161043392844808-π/2
    0.322086785689616-1.57079632675     		φ = -1.24870954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24582042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.084473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24870954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.545786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8833 KachelY 12931 0.24582042 -1.24870954 14.084473 -71.545786
    Oben rechts KachelX + 1 8834 KachelY 12931 0.24620392 -1.24870954 14.106446 -71.545786
    Unten links KachelX 8833 KachelY + 1 12932 0.24582042 -1.24883091 14.084473 -71.552740
    Unten rechts KachelX + 1 8834 KachelY + 1 12932 0.24620392 -1.24883091 14.106446 -71.552740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24870954--1.24883091) × R
    0.00012137000000001 × 6371000     		dl = 773.248270000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24870954--1.24883091) × R
    0.00012137000000001 × 6371000     		dr = 773.248270000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24582042-0.24620392) × cos(-1.24870954) × R
    0.000383499999999981 × 0.316546726196189 × 6371000     		do = 773.411810360497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24582042-0.24620392) × cos(-1.24883091) × R
    0.000383499999999981 × 0.316431595084411 × 6371000     		du = 773.130512990409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24870954)-sin(-1.24883091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316546726196189-0.316431595084411)×R²
    abs(0.24620392-0.24582042)×0.000115131111778188×R²
    0.000383499999999981×0.000115131111778188×6371000²
    0.000383499999999981×0.000115131111778188×40589641000000     		ar = 597930.588739207m²