Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8832 / 12932
↖ ↑ ↗
← S 71.552740°
E 14.062500°		 ← 773.11 m → S 71.552740°
E 14.084473°		 →
↑
772.99 m
↓
↑
772.99 m
↓
S 71.559692°
E 14.062500°		 ← 772.83 m →
597 501 m²		 S 71.559692°
E 14.084473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539093017578125 y=0.789337158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539093017578125 × 214)
    floor (0.539093017578125 × 16384)
    floor (8832.5)     		tx = 8832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.789337158203125 × 214)
    floor (0.789337158203125 × 16384)
    floor (12932.5)     		ty = 12932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8832 / 12932 ti = "14/8832/12932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8832/12932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8832 ÷ 214
    8832 ÷ 16384     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12932 ÷ 214
    12932 ÷ 16384     		y = 0.789306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.789306640625 × 2 - 1) × π
    -0.57861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.81776723359253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81776723359253))-π/2
    2×atan(0.16238792075756)-π/2
    2×0.160982706809294-π/2
    0.321965413618588-1.57079632675     		φ = -1.24883091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24883091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.552740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8832 KachelY 12932 0.24543693 -1.24883091 14.062500 -71.552740
    Oben rechts KachelX + 1 8833 KachelY 12932 0.24582042 -1.24883091 14.084473 -71.552740
    Unten links KachelX 8832 KachelY + 1 12933 0.24543693 -1.24895224 14.062500 -71.559692
    Unten rechts KachelX + 1 8833 KachelY + 1 12933 0.24582042 -1.24895224 14.084473 -71.559692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24883091--1.24895224) × R
    0.000121330000000031 × 6371000     		dl = 772.993430000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24883091--1.24895224) × R
    0.000121330000000031 × 6371000     		dr = 772.993430000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.24582042) × cos(-1.24883091) × R
    0.000383490000000014 × 0.316431595084411 × 6371000     		do = 773.110353133552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.24582042) × cos(-1.24895224) × R
    0.000383490000000014 × 0.31631649725753 × 6371000     		du = 772.82914442062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24883091)-sin(-1.24895224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316431595084411-0.31631649725753)×R²
    abs(0.24582042-0.24543693)×0.00011509782688085×R²
    0.000383490000000014×0.00011509782688085×6371000²
    0.000383490000000014×0.00011509782688085×40589641000000     		ar = 597500.538126497m²