Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8827 / 11957
↖ ↑ ↗
← S 63.440687°
E 13.952637°		 ← 1 092.45 m → S 63.440687°
E 13.974610°		 →
↑
1 092.24 m
↓
↑
1 092.24 m
↓
S 63.450509°
E 13.952637°		 ← 1 092.07 m →
1 193 016 m²		 S 63.450509°
E 13.974610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538787841796875 y=0.729827880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538787841796875 × 214)
    floor (0.538787841796875 × 16384)
    floor (8827.5)     		tx = 8827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729827880859375 × 214)
    floor (0.729827880859375 × 16384)
    floor (11957.5)     		ty = 11957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8827 / 11957 ti = "14/8827/11957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8827/11957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8827 ÷ 214
    8827 ÷ 16384     		x = 0.53875732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11957 ÷ 214
    11957 ÷ 16384     		y = 0.72979736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53875732421875 × 2 - 1) × π
    0.0775146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24351945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72979736328125 × 2 - 1) × π
    -0.4595947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44385941655609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24351945} λ = 0.24351945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44385941655609))-π/2
    2×atan(0.236015118030708)-π/2
    2×0.231773734700868-π/2
    0.463547469401737-1.57079632675     		φ = -1.10724886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24351945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.952637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10724886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.440687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8827 KachelY 11957 0.24351945 -1.10724886 13.952637 -63.440687
    Oben rechts KachelX + 1 8828 KachelY 11957 0.24390295 -1.10724886 13.974610 -63.440687
    Unten links KachelX 8827 KachelY + 1 11958 0.24351945 -1.10742030 13.952637 -63.450509
    Unten rechts KachelX + 1 8828 KachelY + 1 11958 0.24390295 -1.10742030 13.974610 -63.450509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10724886--1.10742030) × R
    0.000171440000000134 × 6371000     		dl = 1092.24424000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10724886--1.10742030) × R
    0.000171440000000134 × 6371000     		dr = 1092.24424000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24351945-0.24390295) × cos(-1.10724886) × R
    0.000383500000000009 × 0.447124023345743 × 6371000     		do = 1092.44851307418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24351945-0.24390295) × cos(-1.10742030) × R
    0.000383500000000009 × 0.446970668500844 × 6371000     		du = 1092.07382447876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10724886)-sin(-1.10742030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447124023345743-0.446970668500844)×R²
    abs(0.24390295-0.24351945)×0.000153354844899534×R²
    0.000383500000000009×0.000153354844899534×6371000²
    0.000383500000000009×0.000153354844899534×40589641000000     		ar = 1193015.97309395m²