Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8826 / 11910
↖ ↑ ↗
← S 62.975197°
E 13.930664°		 ← 1 110.17 m → S 62.975197°
E 13.952637°		 →
↑
1 110.02 m
↓
↑
1 110.02 m
↓
S 62.985180°
E 13.930664°		 ← 1 109.79 m →
1 232 097 m²		 S 62.985180°
E 13.952637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538726806640625 y=0.726959228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538726806640625 × 214)
    floor (0.538726806640625 × 16384)
    floor (8826.5)     		tx = 8826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726959228515625 × 214)
    floor (0.726959228515625 × 16384)
    floor (11910.5)     		ty = 11910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8826 / 11910 ti = "14/8826/11910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8826/11910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8826 ÷ 214
    8826 ÷ 16384     		x = 0.5386962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11910 ÷ 214
    11910 ÷ 16384     		y = 0.7269287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5386962890625 × 2 - 1) × π
    0.077392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24313595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7269287109375 × 2 - 1) × π
    -0.453857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42583514229895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24313595} λ = 0.24313595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42583514229895))-π/2
    2×atan(0.240307688266954)-π/2
    2×0.235835891061206-π/2
    0.471671782122412-1.57079632675     		φ = -1.09912454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24313595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.930664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09912454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.975197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8826 KachelY 11910 0.24313595 -1.09912454 13.930664 -62.975197
    Oben rechts KachelX + 1 8827 KachelY 11910 0.24351945 -1.09912454 13.952637 -62.975197
    Unten links KachelX 8826 KachelY + 1 11911 0.24313595 -1.09929877 13.930664 -62.985180
    Unten rechts KachelX + 1 8827 KachelY + 1 11911 0.24351945 -1.09929877 13.952637 -62.985180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09912454--1.09929877) × R
    0.000174230000000053 × 6371000     		dl = 1110.01933000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09912454--1.09929877) × R
    0.000174230000000053 × 6371000     		dr = 1110.01933000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24313595-0.24351945) × cos(-1.09912454) × R
    0.000383500000000009 × 0.454376163896479 × 6371000     		do = 1110.16751216077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24313595-0.24351945) × cos(-1.09929877) × R
    0.000383500000000009 × 0.454220951189522 × 6371000     		du = 1109.78828429093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09912454)-sin(-1.09929877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454376163896479-0.454220951189522)×R²
    abs(0.24351945-0.24313595)×0.000155212706956398×R²
    0.000383500000000009×0.000155212706956398×6371000²
    0.000383500000000009×0.000155212706956398×40589641000000     		ar = 1232096.92601993m²