Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8824 / 11960
↖ ↑ ↗
← S 63.470145°
E 13.886718°		 ← 1 091.32 m → S 63.470145°
E 13.908691°		 →
↑
1 091.16 m
↓
↑
1 091.16 m
↓
S 63.479958°
E 13.886718°		 ← 1 090.95 m →
1 190 607 m²		 S 63.479958°
E 13.908691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538604736328125 y=0.730010986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538604736328125 × 214)
    floor (0.538604736328125 × 16384)
    floor (8824.5)     		tx = 8824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730010986328125 × 214)
    floor (0.730010986328125 × 16384)
    floor (11960.5)     		ty = 11960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8824 / 11960 ti = "14/8824/11960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8824/11960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8824 ÷ 214
    8824 ÷ 16384     		x = 0.53857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11960 ÷ 214
    11960 ÷ 16384     		y = 0.72998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53857421875 × 2 - 1) × π
    0.0771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24236896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72998046875 × 2 - 1) × π
    -0.4599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44500990214697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24236896} λ = 0.24236896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44500990214697))-π/2
    2×atan(0.235743742175123)-π/2
    2×0.231516662134198-π/2
    0.463033324268396-1.57079632675     		φ = -1.10776300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24236896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.886718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10776300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.470145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8824 KachelY 11960 0.24236896 -1.10776300 13.886718 -63.470145
    Oben rechts KachelX + 1 8825 KachelY 11960 0.24275246 -1.10776300 13.908691 -63.470145
    Unten links KachelX 8824 KachelY + 1 11961 0.24236896 -1.10793427 13.886718 -63.479958
    Unten rechts KachelX + 1 8825 KachelY + 1 11961 0.24275246 -1.10793427 13.908691 -63.479958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10776300--1.10793427) × R
    0.000171270000000057 × 6371000     		dl = 1091.16117000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10776300--1.10793427) × R
    0.000171270000000057 × 6371000     		dr = 1091.16117000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24236896-0.24275246) × cos(-1.10776300) × R
    0.000383500000000009 × 0.446664080450225 × 6371000     		do = 1091.32474448633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24236896-0.24275246) × cos(-1.10793427) × R
    0.000383500000000009 × 0.446510838333287 × 6371000     		du = 1090.95033131672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10776300)-sin(-1.10793427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446664080450225-0.446510838333287)×R²
    abs(0.24275246-0.24236896)×0.000153242116937846×R²
    0.000383500000000009×0.000153242116937846×6371000²
    0.000383500000000009×0.000153242116937846×40589641000000     		ar = 1190606.91539849m²