Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8823 / 25481
↖ ↑ ↗
← S 70.173927°
W 83.067627°		 ← 414.34 m → S 70.173927°
W 83.056640°		 →
↑
414.31 m
↓
↑
414.31 m
↓
S 70.177653°
W 83.067627°		 ← 414.26 m →
171 648 m²		 S 70.177653°
W 83.056640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269271850585938 y=0.777633666992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269271850585938 × 215)
    floor (0.269271850585938 × 32768)
    floor (8823.5)     		tx = 8823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777633666992188 × 215)
    floor (0.777633666992188 × 32768)
    floor (25481.5)     		ty = 25481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8823 / 25481 ti = "15/8823/25481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8823/25481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8823 ÷ 215
    8823 ÷ 32768     		x = 0.269256591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25481 ÷ 215
    25481 ÷ 32768     		y = 0.777618408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269256591796875 × 2 - 1) × π
    -0.46148681640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.44980359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777618408203125 × 2 - 1) × π
    -0.55523681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7443279033746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44980359} λ = -1.44980359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7443279033746))-π/2
    2×atan(0.174762406728159)-π/2
    2×0.173015123962791-π/2
    0.346030247925582-1.57079632675     		φ = -1.22476608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44980359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.067627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22476608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.173927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8823 KachelY 25481 -1.44980359 -1.22476608 -83.067627 -70.173927
    Oben rechts KachelX + 1 8824 KachelY 25481 -1.44961184 -1.22476608 -83.056640 -70.173927
    Unten links KachelX 8823 KachelY + 1 25482 -1.44980359 -1.22483111 -83.067627 -70.177653
    Unten rechts KachelX + 1 8824 KachelY + 1 25482 -1.44961184 -1.22483111 -83.056640 -70.177653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22476608--1.22483111) × R
    6.50300000000215e-05 × 6371000     		dl = 414.306130000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22476608--1.22483111) × R
    6.50300000000215e-05 × 6371000     		dr = 414.306130000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44980359--1.44961184) × cos(-1.22476608) × R
    0.000191749999999935 × 0.339166037562691 × 6371000     		do = 414.338543753417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44980359--1.44961184) × cos(-1.22483111) × R
    0.000191749999999935 × 0.339104861399521 × 6371000     		du = 414.263808551324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22476608)-sin(-1.22483111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339166037562691-0.339104861399521)×R²
    abs(-1.44961184--1.44980359)×6.11761631700292e-05×R²
    0.000191749999999935×6.11761631700292e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.11761631700292e-05×40589641000000     		ar = 171647.517006196m²