Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8822 / 5622
↖ ↑ ↗
← N 75.524645°
W 83.078613°		 ← 305.37 m → N 75.524645°
W 83.067627°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N 75.521898°
W 83.078613°		 ← 305.42 m →
93 275 m²		 N 75.521898°
W 83.067627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269241333007812 y=0.171585083007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269241333007812 × 215)
    floor (0.269241333007812 × 32768)
    floor (8822.5)     		tx = 8822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171585083007812 × 215)
    floor (0.171585083007812 × 32768)
    floor (5622.5)     		ty = 5622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8822 / 5622 ti = "15/8822/5622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8822/5622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8822 ÷ 215
    8822 ÷ 32768     		x = 0.26922607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5622 ÷ 215
    5622 ÷ 32768     		y = 0.17156982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26922607421875 × 2 - 1) × π
    -0.4615478515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.44999534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17156982421875 × 2 - 1) × π
    0.6568603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06358765484418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44999534} λ = -1.44999534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06358765484418))-π/2
    2×atan(7.87416899614192)-π/2
    2×1.44447502109524-π/2
    2.88895004219048-1.57079632675     		φ = 1.31815372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44999534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.078613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31815372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.524645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8822 KachelY 5622 -1.44999534 1.31815372 -83.078613 75.524645
    Oben rechts KachelX + 1 8823 KachelY 5622 -1.44980359 1.31815372 -83.067627 75.524645
    Unten links KachelX 8822 KachelY + 1 5623 -1.44999534 1.31810578 -83.078613 75.521898
    Unten rechts KachelX + 1 8823 KachelY + 1 5623 -1.44980359 1.31810578 -83.067627 75.521898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31815372-1.31810578) × R
    4.79399999999686e-05 × 6371000     		dl = 305.4257399998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31815372-1.31810578) × R
    4.79399999999686e-05 × 6371000     		dr = 305.4257399998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44999534--1.44980359) × cos(1.31815372) × R
    0.000191750000000157 × 0.249963546967422 × 6371000     		do = 305.365280044871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44999534--1.44980359) × cos(1.31810578) × R
    0.000191750000000157 × 0.250009964836752 × 6371000     		du = 305.421985935947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31815372)-sin(1.31810578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249963546967422-0.250009964836752)×R²
    abs(-1.44980359--1.44999534)×4.64178693304895e-05×R²
    0.000191750000000157×4.64178693304895e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.64178693304895e-05×40589641000000     		ar = 93275.0763658587m²