Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8822 / 25774
↖ ↑ ↗
← S 71.237289°
W 83.078613°		 ← 392.94 m → S 71.237289°
W 83.067627°		 →
↑
392.90 m
↓
↑
392.90 m
↓
S 71.240823°
W 83.078613°		 ← 392.87 m →
154 372 m²		 S 71.240823°
W 83.067627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269241333007812 y=0.786575317382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269241333007812 × 215)
    floor (0.269241333007812 × 32768)
    floor (8822.5)     		tx = 8822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786575317382812 × 215)
    floor (0.786575317382812 × 32768)
    floor (25774.5)     		ty = 25774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8822 / 25774 ti = "15/8822/25774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8822/25774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8822 ÷ 215
    8822 ÷ 32768     		x = 0.26922607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25774 ÷ 215
    25774 ÷ 32768     		y = 0.78656005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26922607421875 × 2 - 1) × π
    -0.4615478515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.44999534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78656005859375 × 2 - 1) × π
    -0.5731201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80050994972931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44999534} λ = -1.44999534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80050994972931))-π/2
    2×atan(0.165214615587513)-π/2
    2×0.163735539151196-π/2
    0.327471078302392-1.57079632675     		φ = -1.24332525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44999534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.078613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24332525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.237289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8822 KachelY 25774 -1.44999534 -1.24332525 -83.078613 -71.237289
    Oben rechts KachelX + 1 8823 KachelY 25774 -1.44980359 -1.24332525 -83.067627 -71.237289
    Unten links KachelX 8822 KachelY + 1 25775 -1.44999534 -1.24338692 -83.078613 -71.240823
    Unten rechts KachelX + 1 8823 KachelY + 1 25775 -1.44980359 -1.24338692 -83.067627 -71.240823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24332525--1.24338692) × R
    6.16700000000137e-05 × 6371000     		dl = 392.899570000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24332525--1.24338692) × R
    6.16700000000137e-05 × 6371000     		dr = 392.899570000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44999534--1.44980359) × cos(-1.24332525) × R
    0.000191750000000157 × 0.321649526309103 × 6371000     		do = 392.93968608343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44999534--1.44980359) × cos(-1.24338692) × R
    0.000191750000000157 × 0.321591132915457 × 6371000     		du = 392.868350421811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24332525)-sin(-1.24338692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321649526309103-0.321591132915457)×R²
    abs(-1.44980359--1.44999534)×5.83933936459946e-05×R²
    0.000191750000000157×5.83933936459946e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.83933936459946e-05×40589641000000     		ar = 154371.819870918m²