Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8821 / 25781
↖ ↑ ↗
← S 71.262010°
W 83.089600°		 ← 392.44 m → S 71.262010°
W 83.078613°		 →
↑
392.39 m
↓
↑
392.39 m
↓
S 71.265539°
W 83.089600°		 ← 392.37 m →
153 976 m²		 S 71.265539°
W 83.078613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269210815429688 y=0.786788940429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269210815429688 × 215)
    floor (0.269210815429688 × 32768)
    floor (8821.5)     		tx = 8821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786788940429688 × 215)
    floor (0.786788940429688 × 32768)
    floor (25781.5)     		ty = 25781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8821 / 25781 ti = "15/8821/25781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8821/25781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8821 ÷ 215
    8821 ÷ 32768     		x = 0.269195556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25781 ÷ 215
    25781 ÷ 32768     		y = 0.786773681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269195556640625 × 2 - 1) × π
    -0.46160888671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45018709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786773681640625 × 2 - 1) × π
    -0.57354736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80185218291867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45018709} λ = -1.45018709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80185218291867))-π/2
    2×atan(0.164993007805034)-π/2
    2×0.163519811935628-π/2
    0.327039623871257-1.57079632675     		φ = -1.24375670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45018709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.089600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24375670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.262010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8821 KachelY 25781 -1.45018709 -1.24375670 -83.089600 -71.262010
    Oben rechts KachelX + 1 8822 KachelY 25781 -1.44999534 -1.24375670 -83.078613 -71.262010
    Unten links KachelX 8821 KachelY + 1 25782 -1.45018709 -1.24381829 -83.089600 -71.265539
    Unten rechts KachelX + 1 8822 KachelY + 1 25782 -1.44999534 -1.24381829 -83.078613 -71.265539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24375670--1.24381829) × R
    6.15900000000558e-05 × 6371000     		dl = 392.389890000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24375670--1.24381829) × R
    6.15900000000558e-05 × 6371000     		dr = 392.389890000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45018709--1.44999534) × cos(-1.24375670) × R
    0.000191749999999935 × 0.321240974156252 × 6371000     		do = 392.44058273738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45018709--1.44999534) × cos(-1.24381829) × R
    0.000191749999999935 × 0.321182647971903 × 6371000     		du = 392.369329181277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24375670)-sin(-1.24381829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321240974156252-0.321182647971903)×R²
    abs(-1.44999534--1.45018709)×5.83261843481453e-05×R²
    0.000191749999999935×5.83261843481453e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.83261843481453e-05×40589641000000     		ar = 153975.737553297m²