Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8820 / 25780
↖ ↑ ↗
← S 71.258480°
W 83.100586°		 ← 392.49 m → S 71.258480°
W 83.089600°		 →
↑
392.45 m
↓
↑
392.45 m
↓
S 71.262010°
W 83.100586°		 ← 392.42 m →
154 021 m²		 S 71.262010°
W 83.089600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269180297851562 y=0.786758422851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269180297851562 × 215)
    floor (0.269180297851562 × 32768)
    floor (8820.5)     		tx = 8820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786758422851562 × 215)
    floor (0.786758422851562 × 32768)
    floor (25780.5)     		ty = 25780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8820 / 25780 ti = "15/8820/25780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8820/25780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8820 ÷ 215
    8820 ÷ 32768     		x = 0.2691650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25780 ÷ 215
    25780 ÷ 32768     		y = 0.7867431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2691650390625 × 2 - 1) × π
    -0.461669921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45037883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7867431640625 × 2 - 1) × π
    -0.573486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80166043532019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45037883} λ = -1.45037883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80166043532019))-π/2
    2×atan(0.165024647851401)-π/2
    2×0.16355061332445-π/2
    0.3271012266489-1.57079632675     		φ = -1.24369510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45037883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.100586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24369510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.258480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8820 KachelY 25780 -1.45037883 -1.24369510 -83.100586 -71.258480
    Oben rechts KachelX + 1 8821 KachelY 25780 -1.45018709 -1.24369510 -83.089600 -71.258480
    Unten links KachelX 8820 KachelY + 1 25781 -1.45037883 -1.24375670 -83.100586 -71.262010
    Unten rechts KachelX + 1 8821 KachelY + 1 25781 -1.45018709 -1.24375670 -83.089600 -71.262010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24369510--1.24375670) × R
    6.1599999999995e-05 × 6371000     		dl = 392.453599999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24369510--1.24375670) × R
    6.1599999999995e-05 × 6371000     		dr = 392.453599999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45037883--1.45018709) × cos(-1.24369510) × R
    0.000191739999999996 × 0.321299308591804 × 6371000     		do = 392.491376394651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45037883--1.45018709) × cos(-1.24375670) × R
    0.000191739999999996 × 0.321240974156252 × 6371000     		du = 392.42011647504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24369510)-sin(-1.24375670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321299308591804-0.321240974156252)×R²
    abs(-1.45018709--1.45037883)×5.83344355526427e-05×R²
    0.000191739999999996×5.83344355526427e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.83344355526427e-05×40589641000000     		ar = 154020.670577422m²