Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8820 / 11929
↖ ↑ ↗
← S 63.164276°
E 13.798828°		 ← 1 102.98 m → S 63.164276°
E 13.820801°		 →
↑
1 102.76 m
↓
↑
1 102.76 m
↓
S 63.174194°
E 13.798828°		 ← 1 102.60 m →
1 216 109 m²		 S 63.174194°
E 13.820801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538360595703125 y=0.728118896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538360595703125 × 214)
    floor (0.538360595703125 × 16384)
    floor (8820.5)     		tx = 8820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728118896484375 × 214)
    floor (0.728118896484375 × 16384)
    floor (11929.5)     		ty = 11929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8820 / 11929 ti = "14/8820/11929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8820/11929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8820 ÷ 214
    8820 ÷ 16384     		x = 0.538330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11929 ÷ 214
    11929 ÷ 16384     		y = 0.72808837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538330078125 × 2 - 1) × π
    0.07666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24083498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72808837890625 × 2 - 1) × π
    -0.4561767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4331215510412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24083498} λ = 0.24083498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4331215510412))-π/2
    2×atan(0.23856307193889)-π/2
    2×0.23418586963622-π/2
    0.468371739272439-1.57079632675     		φ = -1.10242459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24083498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.798828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10242459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.164276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8820 KachelY 11929 0.24083498 -1.10242459 13.798828 -63.164276
    Oben rechts KachelX + 1 8821 KachelY 11929 0.24121848 -1.10242459 13.820801 -63.164276
    Unten links KachelX 8820 KachelY + 1 11930 0.24083498 -1.10259768 13.798828 -63.174194
    Unten rechts KachelX + 1 8821 KachelY + 1 11930 0.24121848 -1.10259768 13.820801 -63.174194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10242459--1.10259768) × R
    0.000173089999999876 × 6371000     		dl = 1102.75638999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10242459--1.10259768) × R
    0.000173089999999876 × 6371000     		dr = 1102.75638999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24083498-0.24121848) × cos(-1.10242459) × R
    0.000383500000000009 × 0.451433977826808 × 6371000     		do = 1102.97893219374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24083498-0.24121848) × cos(-1.10259768) × R
    0.000383500000000009 × 0.451279522074995 × 6371000     		du = 1102.60155377614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10242459)-sin(-1.10259768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451433977826808-0.451279522074995)×R²
    abs(0.24121848-0.24083498)×0.000154455751813165×R²
    0.000383500000000009×0.000154455751813165×6371000²
    0.000383500000000009×0.000154455751813165×40589641000000     		ar = 1216108.99031718m²