Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8819 / 11955
↖ ↑ ↗
← S 63.421031°
E 13.776856°		 ← 1 093.17 m → S 63.421031°
E 13.798828°		 →
↑
1 093.01 m
↓
↑
1 093.01 m
↓
S 63.430860°
E 13.776856°		 ← 1 092.79 m →
1 194 639 m²		 S 63.430860°
E 13.798828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538299560546875 y=0.729705810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538299560546875 × 214)
    floor (0.538299560546875 × 16384)
    floor (8819.5)     		tx = 8819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729705810546875 × 214)
    floor (0.729705810546875 × 16384)
    floor (11955.5)     		ty = 11955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8819 / 11955 ti = "14/8819/11955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8819/11955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8819 ÷ 214
    8819 ÷ 16384     		x = 0.53826904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11955 ÷ 214
    11955 ÷ 16384     		y = 0.72967529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53826904296875 × 2 - 1) × π
    0.0765380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24045149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72967529296875 × 2 - 1) × π
    -0.4593505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44309242616217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24045149} λ = 0.24045149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44309242616217))-π/2
    2×atan(0.23619620879762)-π/2
    2×0.231945263445839-π/2
    0.463890526891679-1.57079632675     		φ = -1.10690580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24045149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.776856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10690580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.421031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8819 KachelY 11955 0.24045149 -1.10690580 13.776856 -63.421031
    Oben rechts KachelX + 1 8820 KachelY 11955 0.24083498 -1.10690580 13.798828 -63.421031
    Unten links KachelX 8819 KachelY + 1 11956 0.24045149 -1.10707736 13.776856 -63.430860
    Unten rechts KachelX + 1 8820 KachelY + 1 11956 0.24083498 -1.10707736 13.798828 -63.430860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10690580--1.10707736) × R
    0.000171559999999849 × 6371000     		dl = 1093.00875999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10690580--1.10707736) × R
    0.000171559999999849 × 6371000     		dr = 1093.00875999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24045149-0.24083498) × cos(-1.10690580) × R
    0.000383490000000014 × 0.447430854583208 × 6371000     		do = 1093.16968142007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24045149-0.24083498) × cos(-1.10707736) × R
    0.000383490000000014 × 0.447277418712637 × 6371000     		du = 1092.79480463178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10690580)-sin(-1.10707736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447430854583208-0.447277418712637)×R²
    abs(0.24083498-0.24045149)×0.000153435870570706×R²
    0.000383490000000014×0.000153435870570706×6371000²
    0.000383490000000014×0.000153435870570706×40589641000000     		ar = 1194639.16907998m²