Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8818 / 25804
↖ ↑ ↗
← S 71.343013°
W 83.122559°		 ← 390.80 m → S 71.343013°
W 83.111572°		 →
↑
390.80 m
↓
↑
390.80 m
↓
S 71.346528°
W 83.122559°		 ← 390.73 m →
152 711 m²		 S 71.346528°
W 83.111572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269119262695312 y=0.787490844726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269119262695312 × 215)
    floor (0.269119262695312 × 32768)
    floor (8818.5)     		tx = 8818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787490844726562 × 215)
    floor (0.787490844726562 × 32768)
    floor (25804.5)     		ty = 25804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8818 / 25804 ti = "15/8818/25804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8818/25804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8818 ÷ 215
    8818 ÷ 32768     		x = 0.26910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25804 ÷ 215
    25804 ÷ 32768     		y = 0.7874755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26910400390625 × 2 - 1) × π
    -0.4617919921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45076233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7874755859375 × 2 - 1) × π
    -0.574951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80626237768372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45076233} λ = -1.45076233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80626237768372))-π/2
    2×atan(0.164266958691536)-π/2
    2×0.162812921717668-π/2
    0.325625843435337-1.57079632675     		φ = -1.24517048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45076233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.122559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24517048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.343013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8818 KachelY 25804 -1.45076233 -1.24517048 -83.122559 -71.343013
    Oben rechts KachelX + 1 8819 KachelY 25804 -1.45057058 -1.24517048 -83.111572 -71.343013
    Unten links KachelX 8818 KachelY + 1 25805 -1.45076233 -1.24523182 -83.122559 -71.346528
    Unten rechts KachelX + 1 8819 KachelY + 1 25805 -1.45057058 -1.24523182 -83.111572 -71.346528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24517048--1.24523182) × R
    6.13400000000208e-05 × 6371000     		dl = 390.797140000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24517048--1.24523182) × R
    6.13400000000208e-05 × 6371000     		dr = 390.797140000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45076233--1.45057058) × cos(-1.24517048) × R
    0.000191750000000157 × 0.319901807453989 × 6371000     		do = 390.804604132056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45076233--1.45057058) × cos(-1.24523182) × R
    0.000191750000000157 × 0.319843690226106 × 6371000     		du = 390.733605845373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24517048)-sin(-1.24523182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319901807453989-0.319843690226106)×R²
    abs(-1.45057058--1.45076233)×5.81172278829034e-05×R²
    0.000191750000000157×5.81172278829034e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.81172278829034e-05×40589641000000     		ar = 152711.448677739m²