Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8817 / 25777
↖ ↑ ↗
← S 71.247887°
W 83.133545°		 ← 392.73 m → S 71.247887°
W 83.122559°		 →
↑
392.71 m
↓
↑
392.71 m
↓
S 71.251419°
W 83.133545°		 ← 392.65 m →
154 213 m²		 S 71.251419°
W 83.122559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269088745117188 y=0.786666870117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269088745117188 × 215)
    floor (0.269088745117188 × 32768)
    floor (8817.5)     		tx = 8817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786666870117188 × 215)
    floor (0.786666870117188 × 32768)
    floor (25777.5)     		ty = 25777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8817 / 25777 ti = "15/8817/25777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8817/25777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8817 ÷ 215
    8817 ÷ 32768     		x = 0.269073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25777 ÷ 215
    25777 ÷ 32768     		y = 0.786651611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269073486328125 × 2 - 1) × π
    -0.46185302734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.45095408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786651611328125 × 2 - 1) × π
    -0.57330322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80108519252475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45095408} λ = -1.45095408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80108519252475))-π/2
    2×atan(0.165119604400065)-π/2
    2×0.163643051055183-π/2
    0.327286102110367-1.57079632675     		φ = -1.24351022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45095408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.133545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24351022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.247887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8817 KachelY 25777 -1.45095408 -1.24351022 -83.133545 -71.247887
    Oben rechts KachelX + 1 8818 KachelY 25777 -1.45076233 -1.24351022 -83.122559 -71.247887
    Unten links KachelX 8817 KachelY + 1 25778 -1.45095408 -1.24357186 -83.133545 -71.251419
    Unten rechts KachelX + 1 8818 KachelY + 1 25778 -1.45076233 -1.24357186 -83.122559 -71.251419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24351022--1.24357186) × R
    6.16399999999739e-05 × 6371000     		dl = 392.708439999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24351022--1.24357186) × R
    6.16399999999739e-05 × 6371000     		dr = 392.708439999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45095408--1.45076233) × cos(-1.24351022) × R
    0.000191749999999935 × 0.321474380335903 × 6371000     		do = 392.725720887634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45095408--1.45076233) × cos(-1.24357186) × R
    0.000191749999999935 × 0.321416011682644 × 6371000     		du = 392.654415449843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24351022)-sin(-1.24357186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321474380335903-0.321416011682644)×R²
    abs(-1.45076233--1.45095408)×5.83686532593664e-05×R²
    0.000191749999999935×5.83686532593664e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.83686532593664e-05×40589641000000     		ar = 154212.704122272m²