Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8817 / 11928
↖ ↑ ↗
← S 63.154355°
E 13.732910°		 ← 1 103.33 m → S 63.154355°
E 13.754883°		 →
↑
1 103.14 m
↓
↑
1 103.14 m
↓
S 63.164276°
E 13.732910°		 ← 1 102.95 m →
1 216 915 m²		 S 63.164276°
E 13.754883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538177490234375 y=0.728057861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538177490234375 × 214)
    floor (0.538177490234375 × 16384)
    floor (8817.5)     		tx = 8817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728057861328125 × 214)
    floor (0.728057861328125 × 16384)
    floor (11928.5)     		ty = 11928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8817 / 11928 ti = "14/8817/11928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8817/11928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8817 ÷ 214
    8817 ÷ 16384     		x = 0.53814697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11928 ÷ 214
    11928 ÷ 16384     		y = 0.72802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53814697265625 × 2 - 1) × π
    0.0762939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23968450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72802734375 × 2 - 1) × π
    -0.4560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43273805584424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23968450} λ = 0.23968450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43273805584424))-π/2
    2×atan(0.238654577275957)-π/2
    2×0.234272445829435-π/2
    0.468544891658871-1.57079632675     		φ = -1.10225144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23968450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.732910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10225144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.154355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8817 KachelY 11928 0.23968450 -1.10225144 13.732910 -63.154355
    Oben rechts KachelX + 1 8818 KachelY 11928 0.24006799 -1.10225144 13.754883 -63.154355
    Unten links KachelX 8817 KachelY + 1 11929 0.23968450 -1.10242459 13.732910 -63.164276
    Unten rechts KachelX + 1 8818 KachelY + 1 11929 0.24006799 -1.10242459 13.754883 -63.164276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10225144--1.10242459) × R
    0.000173149999999955 × 6371000     		dl = 1103.13864999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10225144--1.10242459) × R
    0.000173149999999955 × 6371000     		dr = 1103.13864999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23968450-0.24006799) × cos(-1.10225144) × R
    0.000383490000000014 × 0.451588473587174 × 6371000     		do = 1103.32763766175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23968450-0.24006799) × cos(-1.10242459) × R
    0.000383490000000014 × 0.451433977826808 × 6371000     		du = 1102.95017133503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10225144)-sin(-1.10242459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451588473587174-0.451433977826808)×R²
    abs(0.24006799-0.23968450)×0.000154495760365914×R²
    0.000383490000000014×0.000154495760365914×6371000²
    0.000383490000000014×0.000154495760365914×40589641000000     		ar = 1216915.16490956m²